考博必备 研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题.ppt

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1、习题3-1已知ACnn是正定Hermite矩阵,,Cn.定义内积(,)=A*.①试证它是内积;②写出相应的C-S不等式①:②:Cauchy-Schwarz不等式：习题3-3(1)#3-3(1):已知A=,试求UUnn使U*AU=R为上三角矩阵.解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值.显然,1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵V=(1,2,3),2=(1,0,0)T,3=(0,0,1)T,则V*AV=子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量是1=(

2、-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵W1=(1,2),2=(1/5,2/5)T,则W1*A1W1=作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则U*AU=为上三角矩阵.习题3-9#3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵.证:A*A=((E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1=((E+T+iS)-1(E-(T+iS))(E+(T+iS))(E-T-iS)-1=(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T

3、-iS)-1=E注:可以不证AA*=E;(E-(T+iS))(E+(T+iS))=(E+(T+iS))(E-(T+iS))=(E+T+iS)(E-T-iS)习题3-12设A,B均是正规矩阵,试证:A与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同证:充分性：因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn使得A=Udiag(1,…,n)U*,B=Vdiag(1,…,n)V*,其中1,…,n是A,B的特征值集合.于是B=VU*AUV*=W*AW,W=UV*Unn即得证A与B酉相似.必要性:显然,因为,相似矩阵有相同的特征

4、值.习题3-13#3-13:若AHnn,A2=A,则存在UUnn使得U*AU=diag(Er,0),r=rank(A).证:存在UUnn使得A=Udiag(1,…,n)U*,(*)其中1,…,n是A的特征值的任意排列.∵A2=A和A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U*=Udiag(12,…,n2)U*∴i2=i,即i{0,1},i=1,…,n,.取1,…,n的排列使特征值0全排在后面,则(*)式即给出所需答案.习题3-14#3-14:若AHmn,A2=E

5、,则存在UUnn使得U*AU=diag(Er,-En-r).证:存在UUnn使得A=Udiag(1,…,n)U*,(*)其中1,…,n是A的特征值的任意排列.∵A2=E=Udiag(1,…,1)U*和A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U*=Udiag(12,…,n2)U*∴i2=1,即i=1,i=1,…,n,.取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在前面,则(*)式即给出所需答案.习题3-16#3-16:设若A,BHnn,且A为正定Hermite矩阵,

6、试证:AB与BA的特征值都是实数.证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MHmn,即AB相似于一个Hermite矩阵M.∴(AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn,即BA相似于一个Hermite矩阵M.∴(BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特征值都是实数.证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则PABP-1=PAP

7、*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=MHmn,即AB相似于一个Hermite矩阵M.∴(AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相同,故BA的特征值也都是实数.证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B))=detAdet(A-1-B)=0.但detA>0,和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例3.9.1的相关证明)习题3-19设A是正定Hermite矩阵且AUnn,则A=E证:存在UUnn使得A=Udiag(1,…,n)U*,

8、(*)其中1,…,n是A的特征值的任意排列.A是正定蕴含i>0,i=1,…,nAUnn蕴含

9、i

10、=1,i=1,…,n因此i=1,i=1,…,n∴A=Udiag(1,…,n)U*=UEU*=UU*=E.习题3-20试证:两个半正定矩阵之和是半正定;半正定矩阵与正定矩阵之和是