复变函数课件1。2.ppt

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1、第二节复平面上的点集1、平面点集的几个基本概念2、区域与若尔当曲线第一章下页返回上页1基本概念:设a∈C,r∈(0,+∞)。a的r邻域既是以a为圆心,r为半径的开圆盘Nr(a)，定义为：ar记作：Nr(a)–{a}={z

2、0<

3、z-a

4、0，使得则

5、称a为E的孤立点（边界点而非聚点）；则称E是有界集，否则称E是无界集；开集：所有点为内点的集合；闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；1、任何集合的闭包一定是闭集；3、复平面上的有界闭集称为紧集。2、如果存在r>0，使得下页返回上页集合的例子:例1、圆盘U(a,r)是有界开集；闭圆盘是有界闭集；例2、集合{z

6、

7、z-a

8、=r}是以为a心，r为半径的圆周，它是圆盘U(a,r)和闭圆盘的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界集。例4、集合E={z

9、0<

10、z-a

11、

12、E的聚点。下页返回上页如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.2、区域与若尔当曲线概念下页返回上页D的所有边界点组成D的边界.说明(1)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.(2)区域D与它的边界一起构成闭区域下页返回上页以上基本概念的图示区域邻域边界点边界有界区域和无界区域:下页返回上页(1)圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无

13、界.下页返回上页10连续曲线:平面曲线的复数表示:下页返回上页11光滑曲线:由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.下页返回上页简单曲线:没有重点的连续曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).下页返回上页换句话说,简单曲线自身不相交.13下页返回上页简单闭曲线的性质若尔当定理定理1.1任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：I(C)E(C)边界（2）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.（3）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.（4）若简单折线P的一个断点属于I

14、(C)，另一个端点属于E(C)，则P必与C相交.（1）彼此不相交简单闭曲线的正、反向.14课堂练习判断下列曲线是否为简单闭曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭下页返回上页15单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域下页返回上页例1指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解无界的单连通域(如图).下页返回上页是角形域,无界的单连通域(如图).无界的多连通域.下

15、页返回上页表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.下页返回上页有界的单连通域.下页返回上页例2满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?下页返回上页解是一条平行于实轴的直线,不是区域.单连通域.下页返回上页是多连通域.不是区域.下页返回上页3、小结与思考应理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、聚点、孤立点、内点、外点、闭集、开集、边界点、边界、有界集、无界集、区域理解Jordan曲线、光滑曲线、单连通域与多连通域.下页返回上页作业:第42页6.(1)(3)(5),7,8,9下

16、页返回上页