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1、向量中的三角形四“心”探究三角形的四“心”与平面向量有着千丝万缕的关系，对这两者进行一定的探究，有助于我们更准确把握向量的本质.在10年全国卷里有这样一道高考题：0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA+AABAC,2G[0,4-00）,则P点的轨迹j定通过佃（？的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心简析：本题通过考察平而向量屮的单位向量与相关运算相关知识，來探究三角形小的四“心"问题.ABAC1——-,AN=■abAC取~M=则丽、丽是单位向量，如图1,四边形AMQN是菱形，且AQ是ABAC的角
2、平分线.:.0P=0A+AAQ,2e[0,+oo）即AP=AAQ,:.P点的轨迹就是射线应,・•・P点的轨迹一•定通过ABC的内心，故选B.这里我们很自然地会联想：满足条件的点P的轨迹通过ABC的内心，那么能不能构造一个类似的向量式子，使点P的轨迹通过4BC的外心，重心或垂心？变题1：0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足0P=O4+2（AB+AC）,2g[0,+oo）,贝iJP点的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心简析：如图2,取BC边上的屮点D,连接AD.G为ABC的重心的充要条件是
3、：G4+GB+GC=0OF=3OC；延长OB至E,使OE=2OB,证明：若点G是ABC的重心，0是任意一点，易得0G=
4、（a4+0B+0C）,当0与G重合时得GA+GB+GC=d；另一方而，以GC、GB为边作平行四边形GBEC,贝ijGB+GC=GE=-GAfA、G、E三点共线，可知G必为ABC的重心.应用1：（2010年全国联赛）ABC的三边长BC=a,AC=h,AB=c,G为ABC的重心，若满足g鬲+方面+c农=6,贝I」ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形简析：G为重心，则有GC=-（G
5、A+GB）^入a鬲+b面+c売=6,得(a-c)GA+{b-c)GB=^,i^a=b=c,所以应选C・应用2：（2010年全国联赛）设0点在4BC内部，且有O4+2dB+30C=6,则ABC的面积与AOC的面积比为（）3A.2B.三C・323O简析：如图3,延长OC至F,使由题意矢f!(M+OE+OF=(),可知0是AEF的重心.有SAOE=:SEOF=SAor=3SAEF，而sAOB=-OA\OBsxnZAOB=丄
6、OA
7、
8、OE
9、sinZAOE二丄S=丄S2426所以选C.同理得Sboc丿01以SABC=*ABO+'BOC
10、+AOC=亍AEF9故扫AOC=亍ABC变题2：0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足0P=O4+AABAC丽cosZABC+
11、ac
12、cosZBCA2g[0,+oo),则P点的轨迹一定通过人BC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心・・・P点的轨迹过点A且垂直于边BC,「•P点的轨迹一定通过ABC的垂心，故选D.变题3：0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足ABACABlcos/.ABCAC^cosZBCAAg[0,+oo),则P点的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B・内心C.重心D.垂
13、心简析：如图5,取BC边上的中点D,/在式子0P=OD+AABACABcosZABCAC
14、cosZ.BCA的两边点乘BC,ABBCABcosZABCACBC
15、Xc
16、cosZBCA・・・OPBC=ODBCDPBC=O,・・・P点的轨迹过边BC的中点D且垂直于边BC・・・P点的轨迹一定通过4BC的外心，故选A.通过前面儿个变题的探究，我们看到了平面向量与三角形四“心”的内在联系，当然三角形四“心”在向量屮的表现形式不是唯一的，我们再来欣赏其它的向量等式：1.已知0是4BC所在平面丄的一点，若有aOA+bOB^cOC=Q,则0是AB
17、C的内心.简证：-OB=OA+ABfiC=OA+AC,所以题aOA+bOB+cOC=0可变为：（«+/?+c）OA+/?AB+cAC=6,•••AO=bea+b+cABAC可知，花与ABAC共线，BP：AO是ABAC的角平分线,同理可得：B0、CO分别为ZABC、ZACB的角平分线,所以0是ABC的内心.2.已知0是ABC所在平而上的一点，若有OAABOAACOBBA、OBBC+OCCAOCCB［网网)0PI丿简证:由题知=0,则0是ABC的内心・OAABOAACOCCAOCCBOBBAOBBC所以点0是ABC的三条角平分线的交
18、点，即0是ABC的内心・3.设0为4BC所在平而上的一•点，若OAOB=OBOC=OCOA,则点0为ABC的垂心.简证：由题得西(OA-OC)=0,即OBCA=0,同理可证反而=0、OABC=0,所以0为ABC的垂心.4.设ABC外心为0,若点M满
