数学中的恒成立与有解问题.doc

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1、数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题1.若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.解题思路：结合二次函数的图象求解解析：当时,不等式解集不为,故不满足题意;当时,要使原不等式解集为,只需,解得综上,所求实数的取值范围为2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题2：已知二次函数满足，而且，请解决下列问题（1）求二次函数的解析式。（2）若在区间上恒成立，求的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二

2、次函数最值确定取值范围.解析：(1)设.由得,故.∵∴即,所以,解得∴(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最小值为.所以的取值范围是.规律总结：对一切恒成立,则;对一切恒成立,则；注意参数的端点值能否取到需检验。二、有解问题3、方程的有解问题例题3：题干与例题2相同（1）同例题2.（2）若在区间上恒成立，求的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围.解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最大值为，最小值为，所以的取值范围是。规律总结：若方程在某个区间上有解只需求出在区间上的值域A使。4

3、、不等式的有解问题例题4题干与例题2相同（1）同例题2.（2）若在区间上有解，求的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知在有解,即在有解令,则在上单调递减.所以在上的最大值为.所以的取值范围是。.规律总结：在区间内有解,则;在区间内有解,则；注意参数的端点值能否取到需检验。一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y=x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当

4、p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后

5、通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．设函数，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．例5、不等式(x-1)2

6、：设y1=(x-1)2,y2=logax,如右图所示要使对一切x(1,2),y11,且loga2≥1。1

7、点拨:先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解.解析：方法一：由在上单调递减知，即在上恒成立,即在上恒成立.故只需,故.综上可知，的取值范围是［3,+∞).方法二：当时，,故在上单调递增，与在上单调递减不符，舍去.当时，由得≤x≤0，即的单调递减区间为，与在上单调递减不符，舍去.当时，由得0≤x≤，即的减区间为，由在上单调递减得,得a≥3.综上可知，的取值范围是［3,+∞).练习3．(2012·许昌模