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1、（2013·苏州）如图,抛物线y=1/2x²+bx+c(b,c是常数,且c<0)与x轴分别交于点A,B(点A位于点B的左侧)2013-11-2319:49塒绱—雪墨
2、分类：数学
3、浏览10651次关于苏州市的问题（2013·苏州）如图,抛物线y=1/2x²+bx+c(b,c是常数,且c<0)与x轴分别交于点A,B(点A位于点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0)。(1)b=______点B的横坐标为______(用含c的代数式)(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC,与抛物线y=1/
4、2x²+bx+c交于点E。点D是x轴上一点，其坐标为（2,0），当CDE在同一直线上时，求抛物线解析式(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB、PC，设所得△PBC的面积为S。 ①求S的取值范围 ②若△PBC的面积为整数，则这样的△PBC共有____个。解：（1）∵抛物线y=1/2x2+bx+c过点A（-1，0），∴0=1/2×（-1）2+b×（-1）+c，∴b=1/2+c，∵抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴分别交于点A（-1，0）、B（xB，0）（点A位于点B的左
5、侧），∴-1与xB是一元二次方程1/2x2+bx+c=0的两个根，∴-1•xB=c1/2，∴xB=-2c，即点B的横坐标为-2c；（2）∵抛物线y=1/2x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．设直线BC的解析式为y=kx+c，∵B（-2c，0），∴-2kc+c=0，∵c≠0，∴k=1/2，∴直线BC的解析式为y=1/2x+c．∵AE∥BC，∴可设直线AE得到解析式为y=1/2x+m，∵点A的坐标为（-1，0），∴1/2×（-1）+m=0，解得m=1/2，∴直
6、线AE得到解析式为y=1/2x+1/2．由y＝1/2x2+(1/2+c)x+cy＝1/2x+1/2，解得x1＝−1y1＝0，x2＝1−2cy2＝1−c，∴点E坐标为（1-2c，1-c）．∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），∴直线CD的解析式为y=-c/2x+c．∵C，D，E三点在同一直线上，∴1-c=c/2×（1-2c）+c，∴2c2+3c-2=0，∴c1=1/2（与c＜0矛盾，舍去），c2=-2，∴b=1/2+c=-3/2，∴抛物线的解析式为y=1/2x2-3/2x-2；（3）①设点P坐标为
7、（x，1/2x2-3/2x-2）．∵点A的坐标为（-1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，-2），∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=1/2x-2．分两种情况：（Ⅰ）当-1＜x＜0时，0＜S＜S△ACB．∵S△ACB=1/2AB•OC=5，∴0＜S＜5；（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．∴点F坐标为（x,1/2x-2），∴PF=PG-GF=-（1/2x2-3/2x-2）+（1/2x-2）=-1/2x2+2x，∴S=S△PFC+S△PFB=1/2PF•OB=1
8、/2（-1/2x2+2x）×4=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴当x=2时，S最大值=4，∴0＜S≤4．综上可知0＜S＜5；②∵0＜S＜5，S为整数，∴S=1，2，3，4．分两种情况：（Ⅰ）当-1＜x＜0时，设△PBC中BC边上的高为h．∵点A的坐标为（-1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，-2），∴AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，∴AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，BC边上的高AC=5．∵S=1/2BC•h，∴h=2S/BC=2S/25=55S．如果S
9、=1，那么h=55×1=55＜5，此时P点有1个，△PBC有1个；如果S=2，那么h=55×2=255＜5，此时P点有1个，△PBC有1个；如果S=3，那么h=55×3=355＜5，此时P点有1个，△PBC有1个；如果S=4，那么h=55×4=455＜5，此时P点有1个，△PBC有1个；即当-1＜x＜0时，满足条件的△PBC共有4个；（Ⅱ）当0＜x＜4时，S=-x2+4x．如果S=1，那么-x2+4x=1，即x2-4x+1=0，∵△=16-4=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PB
10、C有2个；如果S=2，那么-x2+4x=2，即x2-4x+2=0，∵△=16-8=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；如果S=3，那么-x2+4x=3，即x2-4x+3=0，∵△=16-12=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；如果S=4，那么-x2+4x=4，即x2-4x+4=0，∵△=16-16=0，∴方程有两个相等的实数根，此时P点有1个，△PBC有1个；即当0＜x＜4时
