数值积分与微分.ppt

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1、第四章数值积分与数值微分数值分析本章内容数值积分基本概念Newton-Cotes求积公式复合求积公式Romberg求积公式Gauss求积公式多重积分数值微分（略）2021/9/142NumericalAnalysis本讲内容数值积分的必要性代数精度插值型求积公式收敛性与稳定性数值积分基本概念公式介绍代数精度余项表达式Newton-Cotes公式2021/9/143NumericalAnalysis数值积分微积分基本公式：(3)f(x)表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表但是在许多实际计算问题中(2)F(x)难求！甚至有时

2、不能用初等函数表示。如(1)F(x)表达式较复杂时，计算较困难。如2021/9/144NumericalAnalysis几个简单公式矩形公式梯形公式抛物线公式基本思想：2021/9/145NumericalAnalysis一般形式数值积分公式的一般形式求积节点求积系数机械求积方法将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算无需求原函数易于计算机实现一般地，用f(x)在[a,b]上的一些离散点ax0

3、义：如果对于所有次数不超过m的多项式f(x)，公式精确成立，但对某个次数为m+1的多项式不精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度将f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入，公式精确成立;但对f(x)=xm+1不精确成立。即：(k=0,1,…,m)代数精度的验证方法2021/9/147NumericalAnalysis举例例：试确定Ai，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度解：将f(x)＝1,x,x2,…,xn代入求积公式，使其精确成立，得……存在唯一解：所以求积公式为：具有至少n阶代数精度2021/9/148Numeri

4、calAnalysis举例例：试确定系数Ai，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。解：将f(x)＝1,x,x2代入求积公式，使其精确成立，可得解得A0=1/3,A1=4/3,A2=1/3。所以求积公式为易验证该公式对f(x)＝x3也精确成立，但对f(x)＝x4不精确成立，所以此求积公式具有3次代数精度。2021/9/149NumericalAnalysis举例例：(P100)试确定下面求积公式中的系数，使其具有尽可能高的代数精度。将f(x)＝x3代入，等号成立，故公式具有2次代数精度。解：将f

5、(x)＝1,x,x2代入求积公式，使其精确成立，可得解得A0=2/3,A1=1/3,B0=1/6。所以求积公式为2021/9/1410NumericalAnalysis代数精度容易验证：左矩形公式和右矩形公式具有零次代数精度中矩形公式和梯形公式具有一次代数精度特别地，任意具有m(0)次代数精度的求积公式一定满足：2021/9/1411NumericalAnalysis插值型求积公式设求积节点为：ax0

6、icalAnalysis插值型求积公式当f(x)＝1,x,x2,…,xn时，有即公式精确成立性质：插值型求积公式具有至少n次代数精度定理：下面的求积公式具有至少n次代数精度的充要条件是该公式是插值型的证明：P1012021/9/1413NumericalAnalysis求积公式余项性质：若求积公式的代数精度为m，则余项为其中K为待定系数，但与f(x)无关如何确定K的值？将f(x)=xm+1代入可得2021/9/1414NumericalAnalysis举例例：试确定梯形公式的余项表达式解：梯形公式代数精度为1，故所以梯形公式的

7、余项为2021/9/1415NumericalAnalysis举例例：试确定下面的求积公式的余项表达式解：由前面的计算可知，该公式的代数精度为2，故所以该公式的余项为2021/9/1416NumericalAnalysis收敛性定义：如果求积公式满足则称该求积公式是收敛的。设求积节点为：ax00，若存在>0，使得当(i=0,1,…,n)时，有则称该求积公式是稳定的。定理：若Ai>0,i=0,1,…,

8、n，则下面的求积公式是稳定的证明：P1032021/9/1418NumericalAnalysisNewton-Cotes公式基于等分点的插值型求积公式积分区间：[a,b]求积节点：xi=a+ih求积公式：Cotes系数Newton-Cotes求积公式2021/9/1419