复合函数求导法则及其应用.doc

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1、习题4.4复合函数求导法则及其应用⒈求下列函数的导数：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾；⑿；⒀；⒁；⒂.解（1）。（2）。（3）。（4）。（5）。（6）。82（7）==。（8）=。（9）=。（10）=。（11）=。（12）。（13）。（14）。82（15）。⒉求下列函数的导数：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸.解（1）。（2）。（3）。（4）。（5）=。⒊设可导，求下列函数的导数：82⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻.解（1）=。（2）=。（3）=。（4）=。（5）=。（6）=。（7）=。（8）=。⒋用对

2、数求导法求下列函数的导数：⑴；⑵；⑶；⑷；82⑸；⑹；⑺.解由于，所以。（1）,。（2），=。（3），=。（4），=。（5），=。（6），82=。（7）令，则，于是，=。⒌对下列隐函数求：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻.解（1）在等式两边对求导，得到，解得=。（2）在等式两边对求导，得到，解得。（3）等式两边平方，再对求导，得到82，解得。（4）在等式两边对求导，得到，解得。（5）在等式两边对求导，得到，解得。（6）在等式两边对求导，得到，解得。（7）在等式两边对求导，得到，解得82。（8）在等式两

3、边对求导，得到，解得。6．设所给的函数可导，证明：⑴奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数；⑵周期函数的导函数仍是周期函数。证⑴设为奇函数，则；设为偶函数，则。（2）设是周期为的函数，则7．求曲线在点的切线和法线方程。解对方程两边求导，得到，解得，将代入得到。于是切线方程为，即82，法线方程为，即。8．对下列参数形式的函数求：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽解：（1）。（2）。（3）。（4）。（5）=。（6）。82（7）。（8）。（9）。（10）。9．求曲线，上与对应的点处的切线和法线方程。解将代入参数

4、方程，有。经计算，，。于是。当时，，所以切线方程为82，法线方程为。10．设方程确定为的函数，其中为参变量，求。解将代入参数方程，可得，即。在两个方程的两端对求导，得到再将代入，解得。所以。11.证明曲线上任一点的法线到原点的距离等于。证利用参数形式所表示的函数的求导公式，，曲线在对应于参数的点处的法线方程为，简化后为，法线到原点的距离为82。12．设函数在处连续，在处连续。请举例说明，在以下情况中，复合函数在处并非一定不可导：⑴在处可导，而在处不可导；⑵在处不可导，而在处可导；⑶在处不可导，在处也

5、不可导。解（1）。（2）。（3），则在处不可导，在处也不可导，但处处可导。13．设函数，和可微，且，也是可微函数，利用一阶微分的形式不变性求下列复合函数的微分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹.解（1）。（2）82。（3）。（4）。（5）。（6）82