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《数学归纳法典型例题分析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学归纳法证题步骤与技巧1.数学归纳法的范围因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。它能帮助我们判断种种与自然数n有关的猜想的正确性。2.数学归纳法两个步骤的关系第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可。3.第一、二数学归纳法第一数学归纳法可以概括为以下三步：(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；(2)归纳假设：假设n=k时命题成立；(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。从而就可断定命题对于从所有正整数都成立第二数学归纳法的证明步骤是：1、证明当n=1时命题是正确的
2、；2、k为任意自然数，假设n＜k时命题都是正确的，如果我们能推出n=时命题也正确，就可以肯定该命题对一切自然数都正确。数学归纳法和第二归纳法是两个等价的归纳法，我们把数学归纳法也叫做第一归纳法。有些命题用第一归纳法证明不大方便，可以用第二归纳法证明。2.(2012·济南高二检测)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()(A)k2+1(B)(k+1)2(C)(D)(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)24.若数列{an}的通项公式an=(n∈N*),记f(n)=(
3、1-a1)(1-a2)…(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)为()(A)(B)(C)(D)5.(2012·徐州高二检测)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时，进而需证n=__________时，命题亦真.6.(易错题)若f(n)=12+22+32+…+(2n)2，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是___________________________________.7.用数学归纳法证明：＞1(n∈
4、N*,n＞1).8.求证：,(n∈N*)9.用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除(n∈)答案解析2.【解析】选D.当n=k时，左端=1+2+3+…+k2，当n=k+1时，左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,故当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,故应选D.4.【解析】选B.∵f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),f(1)=1-a1=1-f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)×(
5、1-)=f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=根据其结构特点可得：f(n)=故选B.5.【解析】因为n为正奇数，且与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1，故进而需证n=2k+1时，命题亦真.答案：2k+16.【解题指南】写出f(k)和f(k+1)，采用作差法.【解析】∵f(k)=12+22+…+(2k)2,f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，∴f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2，即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.答案：f
6、(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)27.【证明】(1)当n=2时，左边=右边=1，不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时，不等式成立，即＞1.那么当n=k+1时，∵k≥2,∴k2-k-1＞0,1+＞1.这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.由(1)和(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数n都成立.【变式训练】用数学归纳法证明：(n∈N*).【证明】①当n=1时，左边＝1，右边＝1，左边≥右边，结论成立；②假设n=k时，不等式成立，即当n=k+1时，下面证：作差得得结论成立，即
7、当n＝k+1时，不等式也成立.由①和②知，不等式对一切n∈N*都成立.8.(2012·开封高二检测)在数列{an},{bn}中，a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*),求a2,a3,a4与b2,b3,b4的值，由此猜测{an},{bn}的通项公式，并证明你的结论.8.【解题指南】采用“归纳——猜想——证明”的思想方法.【解析】由条件得2bn=an+an+1,=bnbn+1.又a1=2,b1=4,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a
8、4=20,b4=25,猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.用数学归纳法证明.①当n=1时，a1=2,b1=4,结论成立.②假设n=k时结论成立，即ak=k(k+1),bk=(k+1)2.那么n=k+1时，ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)［(k+1)+1］,bk+1==(k+2)2=［(k+1)+1］2,∴n=k+1时，结论也成立.由①和②知，an=n(n+1)
