计算方法迭代法.ppt

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1、第三章迭代法§3.1二分法§3.2迭代法原理§3.3Newton迭代法和迭代加速§3.4解线性方程组的迭代法§3.1二分法根的估计二分法根的估计引理3.1（连续函数的介值定理）设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则存在x*(a,b)使f(x*)=0。例3.1证明x33x1=0有且仅有3个实根，并确定根的大致位置使误差不超过=0.5。解:单调性分析和解的位置选步长h=2,扫描节点函数值异号区间内有根f(x)=x33x1二分法条件:设f(x)在[a,b]上连续，f(x)=0在[a,b]上存在唯一解，且f(a)f(b)<0。记Step1:Iff(a0)

2、f(x0)<0,thenx*(a0,x0)leta1=a0,b1=x0;Elsex*(x0,b0)leta1=x0,b1=b0;Letx1=(a1+b1)/2.Stepk:Iff(ak-1)f(xk-1)<0,thenx*(ak-1,xk-1)letak=ak-1,bk=xk-1;Elsex*(xk-1,bk-1)letak=xk-1,bk=bk-1;Letxk=(ak+bk)/2.收敛性及截断误差分析:例3.2x33x1=0,[1,2],精度0.5e-1二分法优点算法简单收敛有保证只要f(x)连续缺点对区间两端点选取条件苛刻收敛速度慢§3.2迭代法原理迭代法的思想

3、不动点原理局部收敛性收敛性的阶迭代法的思想条件:f(x)=0在x0附近有且仅有一个根设计同解变形x=g(x)迭代式xk=g(xk-1),k=1,2,…如果收敛xkx*,则x*是f(x)=0的根不动点原理(迭代过程收敛)定理3.1(不动点原理)设映射g(x)在[a,b]上有连续的一阶导数且满足1o封闭性：x[a,b],g(x)[a,b],2o压缩性：L(0,1)使对x[a,b],

4、g'(x)

5、L,则在[a,b]上存在唯一的不动点x*，且对x0[a,b],xk=g(xk-1)收敛于x*。进一步，有误差估计式后验估计先验估计算法设计中迭代结束条件:近似使用

6、xk

7、-xk-1

8、<不动点原理证明步骤解的存在性;解的唯一性;解的收敛性;误差估计式。例3.3局部收敛性(格式收敛)定理3.2（局部收敛性）设g’(x)连续,则存在充分靠近x*的初值，使迭代收敛于x*。证明：利用定理3.1,取L=具有局部收敛性的迭代计算上不一定收敛，它是否收敛还要看初值是否取的恰当；而不具有局部收敛性的迭代对任何初值都不可能收敛。应用中:近似使用

9、g'(x0)

10、<1判断收敛性的阶(局部收敛速度)定义3.1当xkx*，记ek=x*-xk，若存在实数p，使ek+1/epkc0，则称{xk}有p阶收敛速度。线性收敛p=1平方收敛p=2定理3.3设xk=g(xk-1

11、)x*，则(1)当g'(x*)0时，{xk}线性收敛；(2)当g'(x*)=0,而g''(x*)0时，{xk}平方收敛。3.3Newton迭代法和迭代加速牛顿(Newton)迭代法“迭代－加速”技术牛顿(Newton)迭代法原理(1次近似,直线代替曲线)牛顿格式Newton法几何意义：切线法切线代替曲线Newton法局部收敛性单根：平方收敛m重根：线性收敛例3.5（P56)Newton迭代法，计算3次达到4位有效数字计算4次达到4位有效数字越是精度要求高,Newton迭代法优势越明显“迭代－加速”技术加快迭代过程的收敛速度将发散的迭代格式加工成收敛的若g’(x)在x*附近

12、大约为D,改进xk=g(xk-1)为例3.6（P57)§4解线性方程组的迭代法1迭代思想2Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代3迭代的收敛性4迭代加速——逐次超松弛（SOR）法1迭代思想解大型稀疏型方程组比直接法存储量小条件:Ax=b解存在唯一设计同解变形x=Gx+f迭代式x(k)=Gx(k-1)+f,k=1,2,…取初值x(0)，如果收敛x(k)x*,则x*是Ax=b的解x(k)x*2Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代例3.7解：变形Jacobi迭代Jacobi迭代初值取，精度要求=10-3。计算得

13、

14、x(6)x(5)

15、

16、10-3.Gauss

17、-Seidel迭代Gauss-Seidel迭代初值取，精度要求=10-3。计算得

18、

19、x(5)x(4)

20、

21、10-3.编程计算公式Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代迭代结束条件一般用

22、

23、x(k)x(k-1)

24、

25、问题(1)收敛性条件?(2)

26、

27、x(k)x(k-1)

28、

29、作为结束条件是否可靠?计算公式矩阵形式和分解：A=L(下三角)+D(对角)+U(上三角)迭代x(k)=Gx(k-1)+f,k=1,2,…Jacobi迭代G=-D-1(L+U)=I-D-1Af=D-1bGa