正交矩阵和性质.ppt

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1、2021/7/3014.3正交矩阵及其性质2021/7/302定义6设A为n阶方阵,如果ATA=I或AAT=I,就称A为正交矩阵.(A-1=AT)定理4A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基.证设按列分块为[a1,a2,...,an],2021/7/303于是因此ATA=I的充分必要条件是此定理可作为判定正交矩阵的一种方法2021/7/304定理5设A,B皆是n阶正交矩阵,则:(i)detA=1或-1;(ii)A-1=AT（充要条件）;(iii)AT(即A-1)也是正交矩阵;(iv)AB也是正交矩阵

2、.证(i)det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2,所以成立,(ii)ATA=I,当然就是A-1=AT,(iii)(AT)TAT=AAT=AA-1=I,所以AT(即A-1)也是正交矩阵,从而A的行向量组也是Rn的一组标准正交基,(iv)由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I,即得AB也是正交矩阵.2021/7/305定理方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量构成标准正交组。推论1方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量构成标准正交组。A是正交矩阵方阵A的列向量构成标准正交组方阵A的行向量构成标准正交组是

3、正交矩阵2021/7/306例现有标准正交组求三维向量使得矩阵为正交矩阵解是标准正交组2021/7/307或定义若A为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。定理正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。2021/7/308也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩阵A作用下变换为AX,AYRn,则向量的内积与长度及向量间的夹角都保持不变,即(AX,AY)=(X,Y),

4、AX

5、=

6、X

7、,{AX,AY}={X,Y}.证(AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y=XTY=(X,Y).当Y=X时,有(AX,AX)=(X,X

8、),即

9、AX

10、=

11、X

12、,因此所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.知识回顾KnowledgeReview祝您成功！