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1、1.3.3函数的最大（小）值与导数高二选修2-2第一章yxOx1x2aby=f(x)f(x)<0f(x)>0f(x)>0f(x)<0左正右负为极大值左负右正为极小值一、温故1.函数极值的定义一、温故2.求函数f（x）极值的步骤xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6观察函数y=f(x)在区间[a,b]的图像,你能找出函数的极大值、极小值吗？观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的极大值。二、新课导入但是，在解决实际问题（比如用料最省、产量最高，效益最大等）或研
2、究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小。我们发现，这些极小值点附近找不到比它的函数值更小的值，极大值点附近找不到比它的函数值更大的值，由此可以看出，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。二、新课导入xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6那么，这节课我们来学习函数的最大（小）值与导数，试图通过导数来求函数的最大（小）值。回到刚才那幅图，你能找出函数y=f（x）在区间[a,b]上的最大值、最小值吗？三、新课讲授xoyax1by=f(
3、x)x2x3x4x5x6由图可以看出，最大值为f（a），最小值为再观察以下两幅图在区间[a,b]上的函数y=f（x）的图像，它们在区间[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，分别是什么？三、新课讲授xoybay=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x4x3由图像可以看出，左边函数最大值为f(b),最小值为f(a);右边函数最大值为，最小值为观察发现，这3个函数的图像在闭区间[a,b]上都是一条连续不断的曲线，它们都有最大值和最小值！你能据此得出什么结论呢？三、新课讲授xoybay=f(x)oyxy=
4、f(x)abx1x2x4x3最值存在性定理：一般地，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值！xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x61.继续观察这三幅图，函数的最值在什么位置？三、新课讲授xoybay=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x4x31.可以发现：函数的最值都是函数的极值或端点值；xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x62.你能由此得出求函数最值的方法吗？2.求函数最值的方法：将函数所有极值与端点值进行比较。利用导数求函数
5、f(x)最值的步骤三、新课讲授是什么呢？例1:求函数y=x3+3x2-9x在区间[-4,4]上的最大值与最小值.解:令,解得x=-3,1.当x变化时,的变化情况如下表:x(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)y’+0-0+y单调递增↗27单调递减↘-5单调递增↗从上表可知,函数有极小值f(1)=-5,极大值f(-3)=27三、新课讲授又由于f（-4）=20，f（4）=76因此，函数在区间[-4,4]上的最大值是76,最小值是-5.分析：能用配方法或函数的性质吗？能用基本不等式或线性规划吗？能用导数
6、吗？利用导数求最值的步骤?这道题告诉我们1.求最值的方法：配方法；函数的性质；基本不等式；线性规划；导数2.当函数的最高次数不小于3次时，一般用导数来求函数的最值练习1：求函数在[0，3]上的最大值与最小值.令，解得因此函数在[0，3]上的最大值为22，最小值为6.当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:x(0,2)2(2,3)f’(x)+0-f(x)单调递增↗22单调递减↘如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有唯一一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。例如函数y=f(x)图像如下：例2:若函数的
7、最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.解:令得x=0,x=4（舍去）.当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:x(-1,0)0(0,2)f’(x)+0-f(x)单调递增↗b单调递减↘由表知,f(0)=b是唯一一个极大值，也就是最大值,故b=3.又f(-1)-f(2)=（-7a+b）-（-16a+b）=9a>0,所以f(x)的最小值为f(2)=-16a+3=-29,故a=2.反思：本题属于逆向探究题型：其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。练习2：若函数在
8、区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M-N的值为（）A.2B.4C.18D.20分析：唯一一个极小值f(1)=-2-a，也就是最小值N又由于f(0)=-a,f(3)=18-a,所以最大值为M=18-a，所以M-N=18-a-（-2-a）=20D抢答题练习2变式：若函数在区间[0,3]上，恒有f(x)
