数学分析精品教案7运用导数研究函数性态.doc

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1、SF01（数）Ch7运用导数研究函数性态计划课时：6时P61—70Ch7运用导数研究函数性态（6时）§1单调性与极值判法（4时•可微函数单调性判别法：1・单调性判法：Th1设函数/（X）在区间@上）内可导.则在@上）内/（%）/（或'）O在@,方）内/z（x）＞0（或50）.证U）=＞）（证f：a）＞o.）Th2设函数.f（x）在区间（d,b）内可导.则在（d,方）内f（x）//（或X）Oi＞对Vxe（a9b）9有广（无“0（或＜0）;ii＞在@劝内任子区间上广（兀）羊0.2.单调区间的分离：/（兀）的升、降区间分

2、别对应广（X）的非负、非正值区间.例1分离函数/（%）=x3-x的单调区间.更一般的例可参阅[4]P147—148E13,14.二.可微极值点判别法：极值问题：极值点，极大值还是极小值，极值是多少.1・可微极值点的必要条件：Fermat定理（表述为Th3）.函数的驻点和（连续但）不可导点统称为可疑点，可疑点的求法.2・极值点的充分条件：对每个可疑点，用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.Th4（充分条件I）设函数/（兀）在点兀o连续,在邻域（兀0-5,兀o）和（无），兀（）+〃）内可导.则i＞在（兀。-/,%。）内广

3、（兀）V0,在（兀（），兀（）+5）内f'（x）＞0时,=＞无（）为/⑴的一个极小值点；ii＞在（兀0-》,勺）内广（兀）＞0,在（x0,x0+^）内广（兀）＜0时,=＞兀。为/（兀）的一个极大值点；iii＞若广（兀）在上述两个区间内同号，则兀（）不是极值点.Th5（充分条件II——“雨水法则”）设点兀。为函数/（x）的驻点且广（兀。）存在.则i＞当（兀°）v0时，兀为/（X）的一个极大值点;ii＞当/7a0）＞0时，X。为于⑴的一个极小值点.入一＞心X-兀（）当厂（心）＜0时,在点X。的某空心邻域内＜0,=＞广⑴与

4、x-兀°异号,证法一证法二用Taylor公式展开到二阶，带Peano型余项.Th6(充分条件m)设fx0)=f7x0)=•••=/(/,-0(x0)=0M/00(x0)0JIJi＞n为奇数时，x0不是极值点；ii＞斤为偶数时，无。是极值点.且/（，,）（x（））＞0对应极小；/（/,）（x0）＜0对应极大.[l]P190E3[l]P190E4例2求函数/（x）=（2x-5）V^的极值.432例3求函数f（x）=x2+—的极值.3・函数的最值:设函数/（x）在闭区间［a,h］上连续且仅有有限个可疑点maxf(x)=m

5、ax{f(af(bf(x}),f(x2)<•-,f(xn)};xe[a.b]min/(x)=min{/(/?),/(^),/(x2),•••,f(xn)}.xe[a.b]函数最值的几个特例：i＞单调函数的最值：U＞如果函数/（兀）在区间[a,b]±可导且仅有一个驻点，则当兀。为极大值点时,亦为最大值点；当A*o为极小值点时，Xo亦为最小值点.iii＞若函数/（x）在R内可导且仅有一个极大（或小）值点，则该点亦为最大（或小）值点.iv＞对具有实际意义的函数，常用实际判断原则确定最大（或小）值点.EX[1JP195—

6、1961,3,4,6,7；[4]P17525(4X6),26,27(4)(5),28.最值应用问题:例4A、3两村距输电线（直线）分别为1如t1.5km（如图），CD长3km..现两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处，输电线总长AE+BEM小.解设x如图，并设输电线总长为L（x）.则有L（x）=AE+EB=jF+l+7（3-x）2+1.52,0＜a＜3.L3=幻(3一"+1・52-(3^^_亠°7(3-%)2+1.52•厶Ji=>%J(3—兀)2+1.5,=(3—x)Vx2+1,n1.25/+6x—9=0.答:解

7、得x=l.2和兀=一6(捨去).四.利用导数证明不等式:我们曾在前血简介过用屮值定理或Taylo「公式证明不等式的一些方法.其实，利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种（参阅[3]P112-142）.木段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理.1•利用单调性证明不等式:原理：若f/,则对Vq＜0,有不等式/（6Z）＜/（/?）.证明：对任意实数d和b成立不等式a+b<1+IQ+/?I1+b（5广心冇=＞在[。七）5）"・a\bl+la

8、+l+lbl于是，由a+h

9、/(16/1+IZ?I),即山+4<“+⑹=⑺+"I<1+la+bl一1+lal+lbl1+lal+lbl1+lal+lbl一2.不等式原理：[4JP169—171.不等式原理：设函数/（X）在区间S,+00）上连续，在区间（d,+00）内可导,且广（x）＞o；又/⑺）no.贝g兀〉a时，/（x）＞o.（不等式原理的其他形式.）证明：x>—时，