评说构造法证明不等式教案.doc

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1、评说构造法证明不等式北大附中深圳南山分校高中部闫英武关键词：1构造法2不等式3数学创新思维提要：文章从数学创新思维能力培养的角度，来探讨构造法和基本方法在不等式证明的教学中的作用与关系；文章认为，两者应兼顾，不应片面强调构造法。构造法是数学证题中最有生命力的方法之一，其妙不胜枚举，其巧令人兴叹。能够熟练运用构造法证题的人，往往是那些能够驾驭数学知识如牧羊，具有数学创新思维能力的人；而数学创新思维能力的培养，又要求教师在常规教学中，既要展示构造法证题，又要强调用基本方法证题。在教学中只强调构造法证题的做法，具有片面性。事实上，完全可以做到两种证题方法兼顾。本文仅以不等式的证明举几例加以说

2、明。请看：例1：求证：。分析与略证：此题在很多期刊中，如图1，通常都是构造的三角形，用余弦定理及三角形两边长之和大于第三边长来证，略。事实上，由可知欲证不等式：左边2==右边2太明显了!两边再开方，原不等得证。例2：求证：（）。（由92年全国高中数学联赛第12小题改编）分析与略证：此题常将根号内配方，如图2，构造成抛物线上动点M与两定点A（3，2），B（0，1）的距离之差，数形结合来证，略。事实上，欲证不等式（）（）。小结：平方（再平方）转化为有理式是处理二次根式问题的基本方法。例3：求证：，（）。分析与略证：此题结论稍作变形即如：，常构造一元二次方程，由其来证，略。事实上，==或==

3、=例4：求证：，。分析与略证：此题常构造关于的一次函数，由其单调性来证明；也可构造如图3单位正方形,从中减去三个长方形来证明；还可构造从单位正方体中减去三个长方体来证明（略）。事实上,，====。小结：作差比较、添拆项、放缩、利用基本不等式是处理不等式问题的基本方法。例5：求证：，。分析与略证：此题常构造单调递增函数，来证，略。事实上，欲证不等式方法一：方法二：。小结：分情况讨论（或平方）去掉绝对值是处理含绝对值问题的基本方法。下列各题均与此文情况类似，仅供读者练习。1、求证：。2、求证：3、已知：，求证：。4、求证：。5、求证：。