东南大学离散数学课件.ppt

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1、第八章函数§8.1映射（函数）的定义与性质§8.2函数的复合与反函数§8.3双射函数与集合的基数函数是二元关系中特殊的一类。本节讨论的是离散函数，它能把一个有穷集合变换到另一个有穷集合。例：在计算机上执行程序可以看作是函数的变换：（自变量）输入-----计算机-----输出（函数值）主要讨论：函数定义、特殊函数及其性质、函数的运算。利用函数的概念，特别是双射函数，讨论无限集合的基数问题。§8.1函数的定义与性质§8.1函数的定义与性质定义：设X和Y是任意两个集合，f是从X→Y的一种关系，若对于每一个x∈X，都存在一个唯一的

2、y∈Y，能使∈f，则称关系f为函数（映射）,并记为：f：X→Y。f：X→Y中，若，则称x为自变量（原像）（pre-image），与x对应的y称作f作用下的象点（值，映像）（image)）；也可用y=f(x)表示，y称作函数f在x点处的值。§8.1函数的定义与性质X中每一个元素均有定义，对应于某一个f值域∴函数f的定义域，其值f(x)是唯一的，即有时也记为Rf集合Y称为f的共域§8.1函数的定义与性质例：判定下列关系是否为函数是函数不是函数值不是唯一的不是函数§8.1函数的定义与性质例：设X=Y=R（实数）值是唯一

3、的这不是函数，不满足值唯一性§8.1函数的定义与性质定义：给定函数f:A→B和g:C→D，F＝GFG∧GF如果A=C，B=D，并对所有的都有f(x)=g(x)，则称函数f和g是相等的，即f=g。或§8.1函数的定义与性质在64个子集中只有8个符合函数的定义，这8个函数为：例：设X={a,b,c}，Y={0,1}，则§8.1函数的定义与性质设

4、X

5、=m，

6、Y

7、=n，则函数f:X→Y中均是m个序偶的集合；（即序偶个数=定义域的基数）从X→Y的所有函数个数§8.1函数的定义与性质X→Y有别函数的个数和子集个数的关系为：即二

8、个集合之间能构成的函数个数比能构成的二元关系数少得多§8.1函数的定义与性质给定函数f:X→Y，如果值域即Y中的每个元素都一定是X中某元素的映像，则称f为X到Y的满射（onto或者surjection)。满射函数一定有：(1)

9、X

10、≥

11、Y

12、例§8.1函数的定义与性质给定f:X→Y，如果有或者：则称f是X到Y的单射。单射函数有：§8.1函数的定义与性质给定函数f:X→Y，如果f既是满射，又是单射，则称f为X到Y的双射(bijection)。（或称“1-1映射）双射一定有：（1）（值域）（2）（定义域）

13、X

14、=

15、Y

16、例：在全班

17、同学的集合中，设：X={序号}，Y={姓名}则：f:X→Y是一双射（序号和姓名的关系）§8.2函数的复合与反函数例：定义一函数可见：的定义域不是Y，而是Y的子集不满足函数定义：即值是唯一的是一种二元关系，而不是函数§8.2函数的复合与反函数一个函数的逆函数存在的话，则此函数一定是双射，而单射、满射的逆关系均不满足函数的定义为了和逆关系相区别，函数f的“逆函数”用来表示定理：如果f:X→Y是双射，则有：也为双射。设是一双射，称为f的反函数（inversefunction)。§8.2函数的复合与反函数设f，g都是函数，则f°g

18、(x)=g(f(x))也是函数，且满足dom(f°g)={x

19、x∈domf∧f(x)∈domg}x∈dom(f°g)有f°g(x)=g(f(x))两个函数的复合是一个函数。函数的复合也称为函数f和g的乘积。例sin(lnx)，先求lnx，然后求sin(lnx)§8.2函数的复合与反函数例：设X={1,2,3},Y={p,q},Z={a,b}f:X→Y={<1,p><2,p><3,q>}g:Y→Z={}函数的复合（乘积）运算不满足交换律。求：fg与各gf§8.2函数的复合与反函数定理：函数的合成运算

20、是可结合的，即如果f,g,h均为函数，则有：说明：函数也是一种二元关系，∵二元关系的复合是满足结合律的，∴函数的复合（乘积）也是满足结合律的。§8.2函数的复合与反函数定理：设g:X→Y，f:Y→Z，是一复合函数，则：(1)如果f和g都是满射，则也是满射；(2)如果f和g都是单射，则也是单射；(3)如果f和g都是双射，则也是双射。§8.2函数的复合与反函数例：设是负整数集合，定义二个双射f和g，f(x)=-x={<-1,1><-2,2>…}，g(x)=x-1={<1,0><2,1>…}，是一双射。§8.2函数的复合与反函数

21、给定f:X→Y，如果对于所有的和某一个常数y，有f(x)=y，则称f为常函数。例：§8.2函数的复合与反函数给定，若对所有的有，即则称为恒等函数。例：§8.2函数的复合与反函数定理：对于任何函数f:Y→X，其中是X→X的恒等函数，是Y→Y的恒等函数，则有XXYY§8.2函数的复合与反函数定理：如果函数f