线性代数期末综合测试题.doc

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1、线性代数期末综合测试题班级：　学号：姓名成绩一、填空题（每小题3分，共30分）1．2.3．当方程个数与未知量个数相同时，非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是，则=5．设α＝(2，-1，5)，β＝(-1,1,1)，则α＋β＝，3α－2β＝6.已知，则(其中I为单位矩阵)7．设三元非齐次线性方程组中，矩阵A的秩为2，且为的两个解，则此非齐次方程组的全部解可表示为：　8．设A为三阶方阵，且，则　　　　9.设，则当k=　　时，线性相关10．设，在齐次线性方程组中，若秩（A）＝k,且是它的一个基础解系，则r=，当k=时，此方程组

2、只有零解二、计算、证明题(共70分)1．设,求使(8分)72．用基础解系表示齐次线性方程组(12分)的全部解。3、求向量组(12分)的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示74．设方阵与对角矩阵相似，求的值(6分)5．已知向量组线性无关，试证向量组亦线性无关(6分)6.已知，A的特征值分别为。（1）当k为何值时，存在可逆矩阵P，使为对角阵(4分)（2）求出可逆矩阵及相应的对角矩阵(12分)7.　设为齐次线性方程组的一个基础解系，试证也是该方程组的一个基础解系。（10分）7线性代数期末综合测试题答案一、填空

3、题（每小题3分，共30分）1．16。2.3．当方程个数与未知量个数相同时，非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是。，则=5．设α＝(2，-1，5)，β＝(-1,1,1)，则α＋β＝，3α－2β＝。6.已知，则(其中I为单位矩阵)。7．设三元非齐次线性方程组中，矩阵A的秩为2，且为的两个解，则此非齐次方程组的全部解可表示为：　。8．设A为三阶方阵，且则　1/16　　9.设，则当k=　1/4　　时，线性相关。10．设，在齐次线性方程组中，若秩（A）＝k,且是它的一个基础解系，则r=n-k，当k=n时，此方程组只有零解。二、计

4、算、证明题(共60分)1．设,求使(8分)7解:2．用基础解系表示齐次线性方程组(12分)的全部解。全部解为：3、求向量组（12分）的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：4．设方阵与相似，求的值.(6分)解：方阵与相似，则与7的特征多项式相同，从而具有相同的特征值，所以：解得：．5．已知向量组线性无关，试证向量组亦线性无关(6分)证明：设有使(此步：2分)因为线性无关，所以有：(此步：3分)∴方程组只有零解，即，从而向量组线性无关，证毕。(此步：1分)6.已知，A的特征值分别为。当k为何值时，存

5、在可逆矩阵P，使为对角阵，并求出可逆矩阵及相应的对角矩阵(16分)解：因为为二重特征根，由此可知k的取值应满足：秩，此时对应方程才能求出两个线性无关的特征向量。(此步：2分)可见只有。(此步：3分)7所求可逆矩阵为：(此步：4分)7.　设为齐次线性方程组的一个基础解系，试证也是该方程组的一个基础解系。（10分）　证明：因为为齐次线性方程组的一个基础解系，　　　　　所以：线性无关。（此步2分）设有实数，使　　　　　　　　　①（此步2分）　　　　　整理得：　　②因为线性无关，所以该方程组②只有零解，即：（此步2分），所以，即方

6、程组①只有零解，线性无关。（此步4分）又也是的解，　　　　　∴也是该方程组的一个基础解系，证毕。7