高等数学 上 教学课件 作者 陶金瑞 第四章 不定积分.ppt

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1、第四章不定积分学习目标：1、理解原函数与不定积分的概念；2、掌握计算不定积分的几种主要方法。《高等数学》内容提要：不定积分不定积分的概念直接积分法换元积分法分部积分法第一节不定积分的概念直接积分法重点：（1）原函数与不定积分的概念（2）基本积分公式（3）不定积分的性质（4）直接积分法难点：（1）原函数与不定积分的理解（2）不定积分的几何意义（3）直接积分的变形技巧一、原函数的概念1、定义例1已知曲线)(xFy=的任一点（x，y）处的切线斜率为xK2=，并且已知这条曲线经过点（1，2），求这条曲线的方程)(xfy=。解：因为曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为x2，所以有x

2、xFy2)(=¢=¢我们知道xCx2)(2=¢+（C为常数）所以CxxF+=2)(由于曲线经过点（1，2），所以1=C，由此，得曲线方程为12+=xy定义1设函数)(xF与)(xf在某个区间I上有定义，对于任意的IxÎ，都有：)()(xfxF=¢或dxxfxdF)()(¢=则称)(xF为)(xf在区间I上的一个原函数。2.原函数的性质定理定理1（原函数存在定理）如果函数)(xf在某区间上有原函数)(xF，则在该区间上它就有无穷多个原函数，并且任一个原函数都可以表示为CxF+)(（C为任意常数）的形式。CxF+)(称为)(xf的原函数族）（证明：由于)()(xfxF=¢于是

3、)())((xfCxF=¢+（C为任意常数）所以无穷多个函数CxF+)(构成的函数族都是)(xf的原函数。设)(xG是)(xf的某个原函数，即)()(xfxG=¢，则0)()()()(])()([=-=¢-¢=¢-xfxfxFxGxFxG所以)()(xFxG-为常数函数即CxFxG=-)()(所以CxFxG+=)()(（1）（2）二、不定积分定义2如果)(xF是)(xf的一个原函数，则称)(xf的全体原函数CxF+)(（C为任意常数）为)(xf的不定积分记为òdxxf)(即ò+=CxFdxxf)()(其中“ò”称为积分号，)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，

4、x称为积分变量，任意常数C称为积分常数。由定义可知，求已知函数)(xf的不定积分，只需求出)(xf的一个原函数)(xF，然后再加上任意常数C即可。例1求下列不定积分：（1）òxdxcos（2）òdxx23解：因为xxcos)(sin=¢，xsin是xcos的一个原函数，所以Cxxdx+=òsincos（2）因为233)(xx=¢，3x是23x的一个原函数，所以Cxdxx+=ò323（1）注：不定积分结果中任意常数C的作用是把一个原函数转化成了原函数族，因此切记不能丢掉。例2验证Cxdxx+-=ò112是否正确。解：因为21)()1()1(xCxCx=¢+¢-=¢+-所以C

5、xdxx+-=ò112是正确的。四、不定积分的几何意义由于)(xf的不定积分CxF+)(是一个函数族，因此它们的图象就是一个曲线族。每一条就称为)(xf的一条积分曲线。它们在横坐标相同的点0x处的切线斜率都是)(0xf，即它们在该0x处对应的点处的切线都平行。这就是不定积分的几何意义。oCxfy+=)(y)(xfy=x0x五、不定积分的性质性质1：)(])([xfdxxf=¢ò，或dxxfdxxfd)()(=ò性质2：ò+=¢CxFdxxF)()(，或ò+=CxFxdF)()(性质3：òò=dxxfkdxxkf)()(，即被积函数的常数因子可以提到积分号的外面。证明：因为

6、)(])([])([xkfdxxfkdxxfk=¢=¢òò即òdxxfk)(是)(xkf的原函数，并且其中含有任意常数C，所以òò=dxxfkdxxkf)()(性质4：òòò±=±dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([六、直接积分法直接用基本积分公式，或者对被积函数进行适当的恒等变形（代数的或三角的），再利用基本积分公式与运算性质求不定积分的方法，称为直接积分法。它是今后各种积分方法的基础，必须掌握好。例1求ò-dxxx2)2(解：dxxdxxdx+-=òòò144dxxx+-=ò)44(dxxx-ò)2(2Cxxx++-=ln44212dxxxx+-=ò442

7、x例5求下列不定积分：(1)ò-dxxx)53(2(2)dxxxò+124(3)dxxxxò++)1(12222(4)dxxxò解：(1)(2)Cxxx++-=arctan313dxxx++-=ò)111(22dxxxx++-+=ò11)1)(1(222dxxx++-=ò11)1(24dxxx+ò124（3）+Cxx++-=arctan1dxxdxx++=òò11122dxxx+-=ò)111(22dxxxxx+++=ò)1()1(2222dxxxx+ò)1(12222（4）=dxxxò3dxx=ò43Cx+=4774Cx++