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1、太谷五中张守娥第三章圆学习新知检测反馈8圆内接正多边形学习新知如图所示的是正六边形的蓝色纸板,如果以它的中心为圆心,以中心到顶点的距离为半径画圆,你会有什么发现?【问题】六边形和圆有什么样的位置关系?如果先给你一个圆,你能在圆中画出正六边形吗?圆内接正多边形的概念如图所示:【问题】1.你能从这四幅图中找出多边形吗?它们都是几边形?2.它们都是什么样的多边形?3.这些正多边形的顶点都具有什么样的特征?顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.如何简单、快速地作出圆的内接正多边形呢?思考下面的问题:1.如何作圆内接正三角形?正四边形?正五边
2、形?正六边形?2.如何作圆内接正n边形?把一个圆n等分(n≥3),依次连接各分点,就可以作出一个圆内接正多边形.把一个圆n等分(n≥3)，依次连接各分点,就可以作出一个圆内接正多边形.如图所示，五边形ABCDE是☉O的内接五边形.圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径，∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距.[知识拓展]正n边形的性质:1.正n边形的每个中心角都相等,都等于；2.正n边形的每个外角都相等,都等于；3.正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.圆内接正多边形性质的运用如图所示，在圆内接正六边形AB
3、CDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.〔解析〕在由半径OC、边长的一半CG、边心距OG组成的Rt△OGC中，利用勾股定理进行解决是解题的关键，而求解边长,则连接OD得出△OCD是等边三角形就可以得出OC=CD=4.解:连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠COD==60°.∴△COD为等边三角形,∴CD=OC=4.在Rt△COG中,OC=4,CG=BC=×4=2,∴OG=∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4,边心距为2.[知识拓展]特殊的圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比:正多边形图形边长、半径、边
4、心距之比正三角形2∶2∶1正四边形2∶∶1正六边形2∶2∶用尺规作圆内接正多边形【做一做】你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗?作法:(3)顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.(1)作☉O的任意一条直径FC.(2)分别以F，C为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于点E，A和D，B.【想一想】你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?作一个☉O，取☉O直径为AB，作AB的垂直平分线交☉O于C，D，顺次连接A，C，B，D，四边形ACBD即为☉O的内接正四边形.检测反馈1.如图所示,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB等
5、于()A.30°B.45°C.55°D.60°解析:连接OA,OB.根据正方形的性质,得∠AOB=90°.再根据圆周角定理,得∠APB=45°.故选B.B2.如图(1)所示,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为()A.6mmB.12mmC.6mmD.4mm解析:如图(2)所示,设正多边形的中心是O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∴AC⊥OB,AM=MC,∵AB=6mm,∠AOB=60°,∴cos∠BAC=,∴AM=6×=3,∴AC=2AM=6(mm).故选C.C3.(201
6、4·南京中考)如图所示，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=.解析:如图所示,设O是正五边形的中心,作出正五边形ABCDE的外接圆,连接OD，OB,则∠DOB=×360°=144°,∴∠BAD=∠DOB=72°.故填72°.4.(2014·江西中考)如图所示,△ABC内接于☉O，AO=2，BC=2,则∠BAC的度数为.72°解析:连接OB,OC,作OD⊥BC于D,如图所示,∵OD⊥BC,∴BD=BC=×2=,在Rt△OBD中,OB=OA=2,BD=,∴cos∠OBD=,∴∠OBD=30°,∵OB=OC,∴∠OCB=30°,∴∠BOC=120°,∴∠BAC=
7、∠BOC=60°.故填60°.60°5.已知正六边形ABCDEF的外接圆的半径为2cm,求这个正六边形的边长、周长和面积.解:∵正六边形的外接圆的半径等于边长,∴正六边形的边长=2cm;正六边形的周长l=6×2=12(cm);正六边形的面积S=6××2×=6(cm2).
