圆中常见的辅助线.doc

《圆中常见的辅助线.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、圆中常见辅助线的做法一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC=BD证明:过O作OE⊥AB于E∵O为圆心，OE⊥AB∴AE=BECE=DE∴AC=BD练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB=10cm，PA=4cm.求⊙O的半径.2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆

2、心角.例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：证明：（一）连结OC、OD∵M、N分别是AO、BO的中点∴OM=AO、ON=BO∵OA=OB∴OM=ON∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC=OD∴Rt△COM≌Rt△DON∴∠COA=∠DOB∴（二）连结AC、OC、OD、BD∵M、N分别是AO、BO的中点∴AC=OCBD=OD∵OC=OD∴AC=BD∴3.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点,AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM证明：连结OM、ON∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点∴

3、OM⊥ABON⊥CD∵AB=CD∴OM=ON∴∠OMN=∠ONM∵∠AMN=90o－∠OMN∠CNM=90o－∠ONM∴∠AMN=∠CNM3.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例：如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交⊙O1、⊙O2于A、C、D、B.求证：AC=BD证明：过O1作O1M⊥AB于M,过O2作O2N⊥AB于N，则O1M∥O2N∴∵O1P=O2P∴O1M=O2N∴AC=BD二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径⑵连结等弧所对的弦⑶连结等弧所对的圆心角例：如图，已知D、E分别为半径O

4、A、OB的中点，C为弧AB的中点，求证：CD=CE证明：连结OC∵C为弧AB的中点∴∴∠AOC=∠BOC∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO=BO∴OD=OE=AO=BO又∵OC=OC∴△ODC≌△OEC∴CD=CE三.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：AC=DC证明：连结AD∵AB为⊙O的直径∴∠ADP=90o∵AC=PC∴AC=CD=AP例（2005年自贡市）如图2，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且。求证：PA是⊙O

5、的切线。证明：作⊙O的直径AD，连BD，则即∴∵∴即∴PA为⊙O的切线。 四．遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90o,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：五.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD=∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD=C

6、E，∠1=∠2，求证：AB=AC（提示如图）六.有弦中点时，常构造三角形中位线.例：已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE=AD证明：作直径CF，连结DF、BF∵CF为⊙O的直径∴CD⊥FD又∵CD⊥AB∴AB∥DF∴∴AD=BF∵OE⊥BCO为圆心CO=FO∴CE=BE∴OE=BF∴OE=AD七.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例：如图，△ABC内接于⊙O，直线AD平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D，求证：AB·AC=AD·AE证明：连结BE∵∠1=∠3∠2=∠1∴∠3=∠2∵四边形ACBE为圆内接四边形∴∠ACD=∠E∴△ABE∽

7、△ADC∴∴AB·AC=AD·AE八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D，过B的直线分别交⊙O1、⊙O2于E、F.求证：CE∥DF证明：连结AB∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF=∠C同理可证：∠ABE=∠D∵∠ABF＋∠ABE=180o∴∠C＋∠D=180o∴CE∥DF九.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂