小学奥数教程之-容斥原理之重叠问题（二）教师版 (156) 全国通用（含答案）.doc

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1、7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面

2、积．图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积．1．先包含——重叠部分计算了次，多加了次；2．再排除——把多加了次的重叠部分减去．　包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类

3、的元素个数．用符号表示为：．图示如下：7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库教师版page7of7图中小圆表示的元素的个数，中圆表示的元素的个数，大圆表示的元素的个数．1．先包含：重叠部分、、重叠了次，多加了次．2．再排除：重叠部分重叠了次，但是在进行计算时都被减掉了．3．再包含：．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲模块一、三量重叠问题【例1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报纸，其中甲报30份，乙报34份，丙报40份，那么既订乙报又订丙报的有___________户。【考点】三量重

4、叠问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】总共有（30＋34＋40）2＝52户居民，订丙和乙的有52－30＝22户。【答案】户【例2】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有人，手中有黄旗的共有人，手中有蓝旗的共有人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有人．而手中只有红、黄两种小旗的有人，手中只有黄、蓝两种小旗的有人，手中只有红、蓝两种小旗的有人，那么这个班共有多少人？【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】如图，用圆表示手中有红旗的，圆表示手中有黄旗的，圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现

5、手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：(人)．【答案】人【巩固】某班有人，其中人爱打篮球，人爱打排球，人爱踢足球，人既爱打篮球又爱踢足球，人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于全班人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有人．根据包含排除法，7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库教师版page7of7既爱打篮球又爱打排球的人数，得到既爱打篮球又爱打排球的人数为：(

6、人)．【答案】人【例1】四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集合G．三者都参加的学生有z人．有=46，=24，=20，=3.5，=7，=2，=10．因为，所以46=24+20+

7、7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有37=21人．【答案】人【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设