随机过程讲义(中科院-孙应飞).pdf

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1、中科院研究生院2009~2010第一学期随机过程讲稿孙应飞第一章随机过程及其分类在概率论中,我们研究了随机变量,n维随机向量。在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量,但只局限在它们之间相互独立的情形。将上述情形加以推广,即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量,这就是随机过程。1.随机过程的概念定义:设(Ω,Σ,P)是一概率空间,对每一个参数t∈T,X(t,ω)是一定义在概率空间(Ω,Σ,P)上的随机变量,则称随机变量族X={X(t,ω);t∈T}为T该概率空间上的一随机过程。其中T⊂R是一实数集,称为指标集或参数集。随机过程的两

2、种描述方法:用映射表示X,TX(t,ω):T×Ω→R即X(⋅,⋅)是一定义在T×Ω上的二元单值函数,固定t∈T,X(t,⋅)是一定义在样本空间Ω上的函数,即为一随机变量;对于固定的ω∈Ω,X(⋅,ω)是一个关于参数t∈T的函数,通常称为样本函数,或称随机过程的一次实现,所有样本函数的集合确定一随机过程。记号X(t,ω)有时记为X(ω)或简记为X(t)。t参数T一般表示时间或空间。常用的参数一般有:(1)T=N={0,1,2,L};0(2)T={0,±1,±2,L};(3)T=[a,b],其中a可以取0或−∞,b可以取+∞。当参数

3、取可列集时,一般称随机过程为随机序列。随机过程{X(t);t∈T}可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间,记作S。S中的元素称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。例1:抛掷一枚硬币,样本空间为Ω={H,T},借此定义:中科院研究生院2009~2010第一学期随机过程讲稿孙应飞cosπt,当出现H时X(t)=t∈(−∞,+∞)2t,当出现T时其中P{H}=P{T}=1/2,则{X(t),t∈(−∞,+∞)}是一随机过程。试考察其样本函数和状态空间。例2:设X(t)=Acos(ωt+θ),t∈(

4、−∞,+∞)其中A和ω是正常数,θ~U(0,2π)。试考察其样本函数和状态空间。例3:设正弦随机过程{X(t);−∞

5、其样本函数和状态空间。若记S为第n个n“顾客”到达的时刻,则{S,n=1,2,L}为一随机序列,我们自然要关心n{S,n=1,2,L}的情况以及它与随机过程{N(t),t≥0}的关系,这时要将两个随n机过程作为一个整体来研究其概率特性(统计特性)。例6:布朗运动。2.随机过程的分类随机过程的分类一般有两种方法:(1)以参数集和状态空间的特征来分类;(2)以统计特征或概率特征来分类。我们分述如下:(一)以参数集和状态空间的特性分类:中科院研究生院2009~2010第一学期随机过程讲稿孙应飞以参数集T的性质,随机过程可分为两大类:(

6、1)T可列;(2)T不可列。以状态空间S的性质,即X(t)所取的值的特征,随机过程也可以分为两大类:(1)离散状态,即X(t)所取的值是离散的;(2)连续状态,即X(t)所取的值是连续的。由此可将随机过程分为以下四类:(a)离散参数离散型随机过程;(b)连续参数离散型随机过程;(c)连续参数连续型随机过程;(d)离散参数连续型随机过程。(二)以随机过程的统计特征或概率特征分类:以随机过程的统计特征或概率特征来进行分类,一般有以下一些:(a)独立增量过程;(b)Markov过程;(c)二阶矩过程;(d)平稳过程;(e)鞅;(f)更

7、新过程;(g)Poission过程;(h)维纳过程。注意:以上两种对随机过程的分类方法并不是独立的,比如,我们以后要讨论的Markov过程,就有参数离散状态空间离散的Markov过程,即Markov链,也要讨论参数连续状态离散的Markov过程,即纯不连续Markov过程。在下面几章中,我们将研究几种重要的、应用非常广泛的随机过程。3.随机过程的数字特征(一)单个随机过程的情形中科院研究生院2009~2010第一学期随机过程讲稿孙应飞设{X(t);t∈T}是一随机过程,为了刻画它的统计特征,通常要用到随机过程的数字特征,即随机过

8、程的均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。下面我们给出它们的定义。(a)均值函数:随机过程{X(t);t∈T}的均值函数定义为:(假设存在)µ(t)=ˆm(t)=E{X(t)}X(b)方差函数:随机过程{X(t);t∈T}的方差函数定义为:(假设存在)22σ

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