矩阵论 矩阵的分解.ppt

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1、第3章、矩阵的分解MatrixFactorizationandDecomposition矩阵分解的概述矩阵的分解：A=A1+A2+…+Ak矩阵的和A=A1A2…Am矩阵的乘积矩阵分解的原则与意义：实际应用的需要理论上的需要计算上的需要显示原矩阵的某些特性矩阵化简的方法与矩阵技术主要技巧：各种标准形的理论和计算方法矩阵的分块§3.1常见的矩阵标准形与分解常见的标准形等价标准形相似标准形合同标准形本节分解：三角分解满秩分解可对角化矩阵的谱分解AT=A相似标准形等价标准形一、矩阵的三角分解（triangulardecomp

2、osition)方阵的LU和LDV分解（P.61）LU分解：AFnn，有下三角形矩阵L，上三角形矩阵U，使得A=LU。LDV分解：AFnn，L、V分别是主对角线元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为对角矩阵，使得A=LDV。已知的方法：Gauss-消元法例题1（P.61eg1）设求A的LU和LDV分解。结论：如果矩阵A能用两行互换以外的初等行变换化为阶梯形，则A有LU分解。三角分解的存在性和惟一性定理3.1（P.62）：矩阵的k阶主子式：取矩阵的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2，…，n。定理:AFn

3、n有惟一LDV分解的充要条件是A的顺序主子式Ak非零，k=1，2，…，n-1。讨论（1）LDV分解的存在LU分解存在（2）矩阵可逆与顺序主子式非零的关系定理3.2（P.64）设矩阵AFnn，rank（A）=k（n），如果A的k阶顺序主子式大于0，则A有LU分解。讨论：LDV分解与LU分解的关系例题2（P.65eg2）LU分解的应用举例：求解线性方程组AX=b二、矩阵的满秩分解定义3.2（P.66）对秩为r的矩阵AFmn，如果存在秩为r的矩阵BFmr，CFrn，则A=BC为A的满秩分解。例题2（P.

4、69，eg5）列满秩行满秩定理3.2：任何非零矩阵AFmn都有满秩分解。满秩分解的求法：方法1：方法2例题1（P.68，eg4）方法3例题3（P.70，eg6）•方法建立的思想•方法实现的途径三、可对角化矩阵的谱分解将方阵分解成用谱加权的矩阵和谱：设AFnn，则A的谱={1，2，，s}。，P具性质：1.可对角矩阵的谱分解分解分析：分解结果：幂等矩阵意义：可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和2、矩阵可以对角化的一个充要条件定理3.5（P.73）矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解，满足

5、条件：充分性的证明：在A有谱分解时Cn=V1V2Vn3.幂等矩阵的性质定理3.4（P.72）PFnn，P2=P，则矩阵PH和矩阵（I–P）仍然是幂等矩阵。P的谱{0，1}，P可相似于对角形。Fn=N（P）R（P）N（P）=V=0，R（P）=V=1P和（I–P）的关系N（I–P）=R（P），R（I–P）=N（P）Hermite矩阵的谱分解定理3.6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH§3.2Schur分

6、解和正规矩阵已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交相似于对角形。讨论：一般方阵A，在什么条件下可以酉相似于对角矩阵？在内积空间中讨论问题，涉及：空间Cn、Cnn，酉矩阵U，UHU=I，U–1=UH酉相似：UHAU=JU–1AU=J相似关系重点：理论结果列向量是空间Cn中的标准正交基一、Schur分解1、可逆矩阵的UR分解定理3.7（P.74）ACnn为可逆矩阵，则存在酉矩阵U和主对角线上元素皆正的上三角矩阵R，使得A=UR。（称A=UR为矩阵A的酉分解）证明：源于Schmidt正交化方法（P.18）例题1求矩阵

7、A的UR分解，其中定理3.8（P.76）：设矩阵ACmn是列满秩的矩阵，则矩阵A可以分解为A=QR，其中QCmn的列向量是标准正交的向量组，RCnn是主对角线上元素为正数的上三角形矩阵。QR分解2、Schur分解定理3.7（P.74）对矩阵ACnn，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得UHAU=T=证明要点：A=PJAP–1，P=URA=PJAP–1=U（RJR–1）UH=UTUH。二、正规矩阵（NormalMatrices）1、定义3.3（P.77）A是正规矩阵AHA=AAH。常见的正规矩阵：对角矩阵

8、对称和反对称矩阵：AT=A，AT=–A。Hermite矩阵和反Hermite矩阵：AH=A，AH=–A正交矩阵和酉矩阵：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。例题1（P.78，eg10）设A为正规矩阵，B酉相似于A，证明B也是正规矩阵。正规是酉相似的不变性质例题2、AFmn，矩阵AHA和矩阵AAH是正规矩阵。2、正规矩阵的基本特性定理3