知识点44 曲率、曲率圆及曲率半径.pdf

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1、学科：高等数学第三章微分中值定理及导数的应用知识点44曲率、曲率圆及曲率半径相关概念、公式定理或结论●定义**●定理**●结论**考频：1知识点44配套习题22例44.1(难度系数0.2)求半圆yax的曲率.解析：通过求解一阶、二阶导数，代入曲率计算公式即可.22xaxx222xaxa解：y,y，a2x2a2x23222ax2a3222yax1K，即圆的曲率为一常数.332222a1yx122ax2例44.2(难度系数0.

2、2)曲线yaxbxc上哪一点曲率半径最小.解析：通过求解一阶、二阶导数，先求出曲率，再利用顶点处曲率半径最小来求解即可.解：y2axb，y2a，322y2a112axbK，，332222K2a1y12axbb显然当2axb0时，即在x处（顶点）曲率K最大，曲率半径最小.2a例44.3(难度系数0.4，跨知识点40)22若f(x)不变号，且曲线yf(x)在点1,1的曲率圆为xy2，则f(x)在区间1,2内（）.(A)

3、有极值点，无零点(B)无极值点，有零点(C)有极值点，有零点(D)无极值点，无零点解析：本题考查曲率圆.22由曲率圆的定义知，曲线yf(x)在点1,1的曲率圆xy2与曲线有相同的切线、相同的曲率且在点1,1的邻域内有相同的弯曲方向，又f(x)不变号，故22曲线yf(x)在区间1,2内的图形介于曲率圆为xy2和切线xy2之间，显然f(x)在区间1,2内无极值点，有零点.故选(B).解：选(B).例44.4(难度系数0.2)求下列曲线的曲率或曲率半径.(1)求ylnx在点1,0

4、处的曲率半径.2(2)求xtln(1t)，yarctant在t2处的曲率.解析：通过求解一阶、二阶导数，代入曲率计算公式即可.11解：(1)y，y.2xx1yx2x则在任意点x0处，曲率为K.于是曲线在3332222221y11x1x1点1,0处的曲率半径22.Kx1(2)利用由参数方程确定的函数的求导法则，得d2y1dt2121t2dyy1t，，22235dxxt(t1)dx(t

5、1)dx(t1)xtt1y52于是所求曲率为K.32221yt2例44.5(难度系数0.4跨知识点43)222151已知抛物线yaxbxc经过点P1,2，且在该点与圆xy相切222，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a,b,c.解析：由圆的曲率为一常数可得到抛物线在P1,2的曲率半径，且抛物线经过点P1,2，抛物线与圆在点P1,2相切，可列出关于a,b,c的方程组，即可求出a,b,c.221511解：圆xy

6、的半径为，所以在圆上任意一点的曲率为2222222151，由于点P1,2是下半圆上的一点，可知曲线xy在点P1,2处22222151为凹的，所以由xy确定的连续函数yy(x)在点P1,2处的222y0.又经计算可知在点P1,2处的y1.由题设条件知，抛物线经过点P1,2，于是有abc2.抛物线与圆在点P1,2相切，所以在点P1,2处y1，即有2ab1.又抛物线与圆在点P1,2有相同的曲

7、率半径及凹凸性，因此有yy2a2，33322221y22P解得a2，从而b3，c2ab3.例44.6(难度系数0.4)求曲线ra1cos的曲率.解析：利用参数方程求导法则，求解一阶、二阶导数，代入曲率计算公式即可.解：曲线的参数方程为xrcosa1coscos，yrsina1cossin，xasin12cosasinsin2，yacoscos2，222xya21cos2ar，

8、xacos2cos2，yasin2sin2，2xyxyasinsin2sin2sin2coscos2cos2cos223a1cos3ar.xyxy3ar3因此曲率K.33x2y222ar222ar