高考数学必修知识讲解基本不等式提高.doc

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1、基本不等式编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1.理解基本不等式的内容及其证明.2.能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.【要点梳理】要点一：基本不等式1.对公式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或要点诠释：可以变形为：，可以变形为：.要点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三

2、角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：特别的，如果，,我们用、分

3、别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.要点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两

4、个正数的等差中项不小于它们的等比中项.要点四：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.要点诠释：1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的.2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解

5、.当a=b取等号，其含义是；仅当a=b取等号，其含义是.综合上述两条，a=b是的充要条件.3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值.5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先

6、理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案.【典型例题】类型一：对公式及的理解例1.，，给出下列推导，其中正确的有.（1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为.【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.（3）

7、∵，∴，（当且仅当即时取等号）∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.举一反三：【变式1】下列结论正确的是(　　)A．当x>0且x≠1时，B．当x>0时，C．当x≥2时，的最小值为2D．当0

8、f（x）的最小值均为【答案】∵，∴当时，，当且仅当，即时取等号；当，y=f（x）在（0，b）上单调递减，∴，故f（x）不存在最小值；故选A。类型二：利用基本不等式证明不等式例2.已知、、都是正数，求证：【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。【解析】∵、、都是正数∴（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）∴（当且仅当时，取等号）即.【总结升华】1.在运用时，注意条件、均为正数，