复变函数入门 1.ppt

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1、§1.1复数1、复数域2、复平面3、复数的模与辐角4、复数的乘幂与方根5、复数的应用举例21、复数域1.1虚单位:对虚数单位的规定:3虚数单位的特性:……41.2复数的代数形式的定义:i-虚单位满足：i2=-1虚部记做：Imz=x实部记做：Rez=x5例1解令6两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,.设：z1=x1+i·y1z2=x2+i·y2复数不能比较大小!!!71.3复数的代数运算1.两复数的和:2.两复数的积:3.两复数的商:注解：复数的减

2、法运算是加法运算的逆运算复数的除法运算是乘法运算的逆运算复数的四则运算与实数的四则运算保持一致8定理:全体复数关于上述运算做成一个数域.称为复数域，用C表示.即91.4共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例2解105.共轭复数的性质:以上各式证明略.11例3解12例4解13例5解14例6解15例7证161.5复数的Hamilton(代数对）形式的定义1835年，Hamilton给出如下定义：称一个有序数对z=(x,y)为一个复数。其中x,y为实数。要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地（x,y)≠（y,x)。(x,y)=x+iy实部Rez=x虚部：

3、Imz=y虚单位(0,1)=i数零0=(0,0)=0+0i17复数的四则运算:182、复平面复数的向量表示法19结论:两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.20附录：向Hamilton学习Hamilton.WilliamRowan（威廉.罗万.哈密儿顿，1805——1865）爵士，无疑是使爱尔兰人在数学领域中享有盛益的最伟大的人物，同时也是有名望的物理学家和天文学家。他1805年生于都柏林，除了短时间外出访问外，一生都是在这里度过的。他才一岁时，被委托给一位叔叔教育，这位叔叔的热心在于给他侧重语言上的教育，不久之后，他就成了孤儿。Hamilton是个神童，3岁时能阅读英文

4、，5岁时能阅读、21翻译拉丁、希腊和希伯莱文，8岁就会讲意大利语和法语，而且能用拉丁文描写美丽的爱尔兰江山，12岁就读完了用拉丁文写的Euclid的《几何原理》，据说他到十三岁时就掌握了十三种语言。在14岁时，有波斯大使到达他的家乡都柏林访问，他还用波斯文写了一篇欢应词。这使得他逐步喜爱上了古典文学,沉醉于诗的写作之中,他成为当时的伟大诗人WillamWordsworth的亲密朋友和相互赞赏者。然而遗憾的是却没有什么真正的成就。22直到十五岁，哈密尔顿的兴趣才转变，爱上了数学。这个变化是由于他认识美国的心算专家ZerahColburn(科尔伯恩)引起的。这位计算家虽然只是个小孩子，但

5、是他在都柏林表演了他的快速计算能力。不久之后Hamilton偶然间见到Newton的《通用算术》的抄本，他贪婪地读它，然后又掌握了解析几何和微积分，并接着读了欧洲大陆的数学巨著。他读了Laplace的《天体力学》（MecaniqueCéleste）后,指出了其中的一个数学错误；1823年，他写了一篇关于这件事的论文，受到相当的注意，第二年，他进了都柏林的三一学院。Hamilton的大学经历也是独一无二的。他在1827年，当他二十二岁还是一个大学生时，就无异23议地被任命为爱尔兰的皇家天文学家，邓辛克天文台台长，和大学的天文学教授。不久之后，仅从数学理论方面，预见到二轴晶体中圆锥形的折

6、射，后来，有物理学家们戏剧般地从试验上加以肯定。在物理学中常见到的Hamilton的名字有Hamilton原理（最小作用量原理，1829），Hamilton数（哈数）和动力学的Hamilton——Jacobi微分方程等。从1833年起，他转而研究代数，并于241835年写成了《共轭函数或者代数对的理论》的有价值的论文，并把它呈交给爱尔兰科学院，在这篇文章中，详细谈到了形如x+iy的复数把它当做实数对来研究，这是Hamilton的伟大成就之一。继他的这篇论文之后，Hamilton用许多年的时间断断续续地考虑实数的有序三元组和有序四元组的代数，但总是在如何定义乘法，使得能够

7、保持人们所熟悉的运算率上处于困境。25最后在1843年，一闪年间，他直觉地想到，要求的太多了，必须牺牲交换率。于是，第一个四元数的代数，第一个非交换代数，就这样突然诞生了。关于四元数，有一种说法：这是他在经过十年无效的苦思冥想之后，当他在黄昏前，和他的妻子一道，沿着都柏林附近的皇家运河散步时突然想到的，并把这种想法刻在了步老姆桥（BroughmBridge）的石柱上在生命的最后二十年中，Hamilton花费了大量时间和精力推演其四元数，他认为这将在数学物