高斯消元法解线性方程组.ppt

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1、§3.4高斯消元法解线性方程组一、线性方程组的矩阵表示二、用高斯消元法求解线性方程组三、小结在第1章的1.4节，我们学习过用Gramer’法则解形如的线性方程组，也讨论过齐次线性方程组的求解问题.事实上,方程组与之对应的齐次线性方程组都可以用矩阵形式表示为:为n阶系数矩阵,为未知数矩阵,为常数矩阵1、非齐次线性方程组当时，方程组（1）有唯一解；当2、对于齐次线性方程组当时，方程组（2）解唯一：只有零解；当时，方程组（2）有无穷多解，有非零解；以上由克兰姆法则得到的结论都是针对n阶线性方程组来说的，而对于未知量

2、个数与方程个数不相等的线性方程组，我们用高斯消元法来讨论方程组（1）无解或有无穷多解它是必然有解的。线性方程组解的情况如下：线性方程组的一般形式：矩阵表示：其中请注意它们的行数、列数§3.4高斯消元法解线性方程组一、线性方程组的矩阵表示对应的齐次线性方程组：矩阵表示形式：其中二、用高斯消元法求解线性方程组下面通过例题，来学习一般线性方程组的解法，这种方法，常称为高斯消元法.此消元法中方程组的消元步骤对应矩阵的初等行变换。解：所以原方程组有唯一的一组解：解例1用消元法解齐次线性方程组其中是自由未知量例2用消元法

3、解线性方程组解将系数矩阵与常数列矩阵排在一起称为线性方程组的增广矩阵记为:高斯消元法解线性方程组,实际就是对增广矩阵作初等行变换.下面我们来一步步解这个方程组。解:这样做，是为了避开分数的加、减法再把得到的最后的矩阵写成方程组形式,得这时,未知量是可以任意取值的,称为自由未知量所以得方程组的解为：在求出方程组的解后,要注明自由未知量.自由未知量的取法是不一唯的,但它的个数是确定的。（即未知量的个数—实际方程个数）上面解题中，最简形阶梯矩阵单位阵阶梯下面给出一个更为形象的最简形阶梯矩阵单位阵补例求解非齐次线性方

4、程组解对增广矩阵进行初等行变换：此时，可以得到方程组无解的结论．（从第三行发现到一个问题）三、小结通过上面两个例题，可归纳出解线性方程组高斯消元法的一般步骤：(1)将线性方程组的增广矩阵，通过初等行变换化为行最简阶梯矩阵；（2）将最简阶梯矩阵还原成线性方程组，求出方程组的一般解，标出自由未知量；（3）取自由未知量为任意常数字母，写出方程组的全部解，指出常数字母的任意性.高斯(GarlFriederichGauss，1777—1855)高斯生于德国的布伦兹维克，他是近代数学伟大的奠基者之一，在历史上影响之大，可

5、以和阿基米德、牛顿、欧拉并列.高斯很小就显示出了他的数学才能,小时候,其父并不想让他上学,由于看父亲算账,指出错误之处,才被其父送入小学读书,当时是班里最小的学生.但成绩很出色。1796年高斯发现正十七边形的尺规作图法，这是从欧几1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。他越来越多的学生也成为有影响的数学家，如后来闻名于世的RichardDedekind和黎曼。里得以来悬而未决的问题，那时他才19岁。