导数的切线方程和图像知识点与习题.doc

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1、.导数导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则1.导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.2.函数在点处连续与点处可导的关系：⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分

2、条件.可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.事实上，令，则相当于.于是⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当....＜0时，，故不存在.注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为4.求导数的四则运算法则：（为常数）注：①必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则

3、它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设，，则在处均不可导，但它们和在处均可导.5.复合函数的求导法则：或复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数在区间内恒有=0，则为常数.注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样是f（x）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（

4、或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7.极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时，①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；....②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点是可导函数的极值点，则=0.但反

5、过来不一定成立.对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数，使=0，但不是极值点.②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I.（为常数）（）II.III.求导的常见方法：①常用结论：.②形如或两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边求导可得.用导数求切线方程的四种类型求曲线

6、的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．....下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．例1　曲线在点处的切线方程为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2　与直线的平行的抛物线的切线方程是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ

7、．Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线上的点的切线方程．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4　求过点且与曲线相切的直线方程．例5　已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．函数图象及其导函数图象1.函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为，则不等式的解集为_____________2.函数的定义域为开区间，导函数在....内的图象如图所示，则函数的单调增区间是____

8、_________1.如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为______2.若函数的图象的顶点在第四象限，则其导函数的图象是（）3.函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则图象的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限O12xyO12xyxyyO12yO12xO12xABCD4.(2007年广东佛山)设是函数的