计算方法 非线性方程的数值解法.ppt

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1、第11次非线性方程的数值解法计算方法(NumericalAnalysis)1）非线性方程与方程组的数值解法的概念2）确定有根区间的方法2）二分法3）不动点迭代法及其收敛性4）牛顿迭代法5）算法实现本讲内容非线性方程与方程组的数值解法的概念第七章非线性方程与方程组的数值解法在科学研究和工程设计中,经常会遇到非线性方程f(x)=0(5.1)的求根问题，其中f(x)为非线性函数。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。方程f(x)=0的根,亦称为函数f(x)的零点。y=

2、f(x)yx本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法当n＞1时,方程显然是非线性的。代数方程一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。…通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行：判定根的存在性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔离开来，这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值。根的精确化。将根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止y=f(x)yx((()))Home确定有根区间的方法7.1.1确定有根区间的方法为了

3、确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，称为圈定根或根的隔离。在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定精度要求的初值。求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标。例1.怎样确定方程x3-3x2+2x=0的有根区间？讨论：这个3次方程最多有3个实根，可能的情况1）有3个实根2）有1个实根，2个复根事实上：方程可以通过分解因式，改写为x(x-1)(x-2)=0从而此方程有3个实根x=0,x=1,x=2而大多数方程都不可能这样凑巧，能很快计算出根，因此只能首先确定根的存在区间，然后利用一些方

4、法求出根的近似值。设f(x)为区间[a,b]上连续,由此可大体确定根所在子区间，方法有：(1)画图法(2)逐步搜索法由介值定理知道如果f(a)·f(b)<0,则f(x)=0在[a,b]中至少有一个实根。如果你发现f(x)在[a,b]上还是单调递增或递减，则仅有一个实根（从而可以在该区间内利用近似方法求解）。y=f(x)yx((()))(1)画图法(使用Matlab)画出连续函数y=f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的大致位置。可将f(x)=0分解为1(x)=2(x)的形式，y=1(x)与y=2(x)两

5、曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间(区间越小越好)。例如xlnx-1=0可以改写为lnx=1/x.分别绘制曲线y=1/x和y=lnx,观察得知有根区间为（2，3）023yxy=1/xy=lnx(2)搜索法假设在[a=x0,x5=b]上定义的连续函数f(x)。从x0=a出发,以步长h=(b-a)/n(n是正整数),在[a,b]内取定节点:xi=x0＋ih(i=0,1,2,…,n),从左至右检查f(xi)的符号,如发现f(xi)f(x0)<0，则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。有根子区间：[x0,x

6、1],[x2,x3],[x4,x5]y=f(x)yxx0x1x2x3x5x4例2.方程f(x)=x3-x-1=0，确定其有根区间。可以看出，f(x)在(1.0,1.5)内必有一根。解：不难发现：f(0)<0f(2)>0。可断定方程在区间(0，2)内至少有一个实根。用搜索的方法，从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的搜索,列表如下:问题：方程是三次方程，除了这一个根之外，是否还有其它的根呢？xf(x)00.51.01.52–––++f(x)=x3-x–1,f’(x)=3x2-1=0，解得x1=-√3/3,x2

7、=√3/3,f(x)在（-∞，-√3/3）单调增加，在（-√3/3，√3/3）单调减少，在（√3/3，+∞）单调增加f(-√3/3)≈f(-0.577)<0是极大值，f(√3/3)≈f(0.577)<0是极小值。可以断定，x>1.5后，f（x）>0，x<0.577,f(x)<0f(x)在(0.577,+∞)单调增加，所以在(1.0,1.5)内单调增加。综合上述，f(x)=0仅仅有一个实根。例3.方程f(x)=x3-4.2x2+4.88x-1.344=0，确定其有根区间。（此方程有根0.4，1.4，2.4）xf(x

8、)00.51.01.522.53–++--++可以看出，f(x)分别在(0,0.5)，(1，1.5)与(2,2.5)内分别各有一实根。解：不难发现：f(0)<0,f(3)>0。可断定方程在区间(0，3)内至少有一个实根。用搜索的方法，从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的搜索,列表如下:用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h；要选择适当h，使之既能把根隔离开来，