平面向量在解析几何中的应用.doc

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1、平面向量在解析几何中的应用-----高三专题复习课教学案例福建省福州格致中学宋建辉一、引言：平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。正因为如此，在2004年3月25日在校教学公开周中开设了《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课，以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣，让学生树立并应用向量的意识。二、背景:向量知识在许多国家的中学数学教材中，早就成了一个基本的教学内容。在我国全面实施新课程后，向量虽然已进入中学，但仍处于起步的阶段。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融

2、数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。但实际情况是很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题，学生应用向量的意识不强。鉴于这种情况，结合我校开展的构建“探究-合作”型教学模式研究的课题，开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课，通过问题的探究、合作解决，旨在进一步探索“探究-合作”型教学模式，使学生树立并增强应用向量的意识。在高中数学新课程教材

3、中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。正因为如此，本节课这样设计：1、教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习，使学生感到认识新事物的乐趣，体验克服困难的喜悦”；教育心理学认为：思维是从提出问题开始的；美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中”。因此首先通过两个旧问题的引入解决，让学生体会向量的工具性特点，体会向量解题的优越性。2、通过例3、例4两个问题的探究解决，由

4、此让学生发现，用向量法的最大优点是思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。三、问题：例1、勾股定理的证明：即在直角三角形ABC中∠C=900，求证：ABC证明：因为AC⊥BC所以又，两边平方得：即评注：对照老教材，勾股定理推导变得简单，回避了许多细节的讨论，优势不言而喻。类似的命题还很多。例2、利用向量知识来推导点到直线的距离公式。已知点P坐标(x0,y0)，直线l的方程

5、为Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则d=证明：当时，在直线l上任取一点，不妨取，直线l的法向量，由向量的射影长知识得点P到直线l的距离等于向量在向量方向上的射影长度d，=（，当B=0时，可直接有图形证明（略）。评注：比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，充分体现了向量的工具性和优越性。四、问题的解决：例3、（2000年全国高考题）椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FPF为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。解：F1（－,0）F2（,0）,设P（3cos,2sin）为钝角∴=9cos2－5＋4sin2=5cos2－1<

6、0解得：∴点P横坐标的取值范围是（）点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。例4、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求的最大值和最小值。分析：因为O为AB的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：又由中点公式得PCyxAoB所以===又因为点P在圆(x-3)2+(y-4)2=4上,所以且所以即故所以的最大值为100，最小值为20。点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知

7、条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。例5、（2003年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心分析：因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知是与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；（1）由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量；（2）求出角平分线的方

8、向向量（3）由点斜式或点向式得出角平分