专题（2）命题及其关系、充分条件与必要条件.doc

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1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[知识能否忆起]一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．二、四种命题及其关系1．四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p2．四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．三、充分条件与必要条件1．如果p⇒q，则p是q的充分条件

2、，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为(　　)A．若＝，则x＝y　　　　B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则＝D．若x

3、命题为逆否命题，即“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”．3．(2012·温州适应性测试)设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C　由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝

4、90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”5．下列命题中所有真命题的序号是________．①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；②“

5、a

6、>

7、b

8、”是“a2>b2”的必要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．解析：①由2>－3⇒/22>(－3)2知，该命题为假；②由a2>b2⇒

9、a

10、2>

11、b

12、2⇒

13、a

14、>

15、b

16、知，该命题为真；③a>b⇒a＋c>b＋c，又a＋

17、c>b＋c⇒a>b，∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为真命题．答案：②③　　1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．11注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难

18、时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．四种命题的关系及真假判断典题导入[例1]　下列命题中正确的是(　　)①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④　　　　　　B．①③④C．②③④D．①④[自主解答]　①中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正

19、确；④中原命题正确故逆否命题正确．[答案]　B由题悟法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．以题试法1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其

20、定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；11④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命