正弦定理和余弦定理.ppt

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1、第七节正弦定理和余弦定理【知识梳理】1.必会知识教材回扣　填一填(1)正弦定理:=______=______=2R(R是△ABC外接圆的半径)(2)余弦定理:①在△ABC中,有a2=_____________;b2=_____________;c2=_____________.②在△ABC中,有:cosA=__________;cosB=__________;cosC=__________.b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC(3)在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况:A为锐角A为

2、钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAba≤b解的个数_________________________一解两解一解一解无解2.必备结论教材提炼　记一记(1)三角形的内角和定理:在△ABC中,A+B+C=___,其变式有:A+B=_____,=_______等.(2)三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=_____;cos(A+B)=______;sin=_______;cos=_______.ππ-CsinC-cosC(3)正弦定理的公式变形:①a=_______,b=_______,c=_______

3、;②sinA∶sinB∶sinC=_________;③sinA=,sinB=____,sinC=____;④2RsinA2RsinB2RsinCa∶b∶c3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法：代入法、边角转化法.(2)数学思想:数形结合、分类讨论.【小题快练】1.思考辨析静心思考　判一判(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.()(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.()(3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.()(4)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()(5)在△ABC中,若sinA>s

4、inB,则A>B.()【解析】(1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任意三角形都成立.(2)错误.由正弦定理可知该结论错误.(3)正确.由余弦定理可知该结论正确.(4)错误.当已知三个角时不能求三边.(5)正确.由正弦定理知sinA=,sinB=,由sinA>sinB得a>b,即A>B.答案:(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√2.教材改编链接教材　练一练(1)(必修5P8T2(1)改编)在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=()A.90°B.120°C.135°D.150°【解析】选B.先求B.c

5、osB=因为0°

6、=,则AB等于.【解析】由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,得3=AB2+4-2×2AB·cos60°,即AB2-2AB+1=0,解得AB=1.答案:1考点1正弦定理的应用【典例1】(1)在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有()A.一个B.两个C.0个D.无法确定(2)(2014·广东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=.(3)(2015·吉林模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在BC边上,∠ADC=75°

7、,则AD的长为.【解题提示】(1)利用正弦定理计算.(2)利用正弦定理化边为角,利用三角恒等变换进行化简.(3)根据等腰三角形三线合一的性质求出角B,再利用正弦定理求解.【规范解答】(1)选B.由正弦定理,得sinB=因为b>a,所以B=60°或120°.故满足条件的三角形有两个.(2)由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinB,所以sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB,即sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,所以=2.答案:2(3)过点A作AE⊥BC，垂足为E，则在Rt△ABE中，在

8、△ABD中，∠ADB=180°-∠ADC=180°-75°=105°.由正弦定理得AD=答案：【一题多解】解答本例(1),(2)你还有其他方法吗?(1)选B.数形结合法:如图,CD=×sin45°=,又a=2,b=,所以CD