分离变量法求解偏微分方程ppt课件.ppt

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1、第十章分离变量法第一节有界弦的自由振动第二节有限长杆上的热传导第三节特殊区域上的位势方程第四节高维定解问题的分离变量法第五节对非齐次边界条件和非齐次方程的处理1第一节有界弦的自由振动物理解释：一根长为l的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动2求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解本征值问题X(x)：T(t)：3第二步：求本征值和本征函数X(x)，以及T(t)的表达式T(t)的表达式本征值和本征函数4第三步：利用初始条件求得定解问题的解利用初始条件得5驻波其中振幅频率初相位振动元素

2、，本征振动驻波oln=46其它边界条件的混合问题两端自由的边界条件7左端点自由、右端点固定的边界条件8左端点固定、右端点自有的边界条件9第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难10举例-弦的敲击对不同的c，有界弦的自由振动11当c=0.2l时，有界弦的自由振动12当c=0.5l时，有界弦的自由振动13再例-弦的拨动对不同的d，有界弦的自由振动14当d=0.5l时，有界弦的自由振动15当d=0.3l时，有界弦的自由振动16第二节有限长杆上的热传导物理解释：一根长为l的均匀细杆，其右端保持绝热，左端保持零度，给定杆内的初始的温度分布，在

3、没有热源的情况下杆在任意时刻的温度分布17求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解本征值问题X(x)：T(t)：18第二步：求本征值和本征函数X(x)，以及T(t)的表达式T(t)的表达式本征值和本征函数19第三步：利用初始条件求得定解问题的解利用初始条件得20举例21当u0=1时，杆内温度随时间的变化22第三节特殊区域上的位势方程矩形域上的边值问题散热片的横截面为一矩形[0,a][0,b]，它的一边y=b处于较高的温度，其它三边保持零度。求横截面上的稳恒的温度分布23参数选取24圆域内的边值问题一个半

4、径为a的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘的温度分布为已知函数f(x,y)，求稳恒状态时圆盘内的温度分布25ora+2隐含着的周期边值条件和原点约束条件26第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解()：R(r)：周期本征值问题欧拉方程27第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程28第三步：利用边界条件利用边界条件29解的约化-Poisson积分公式30举例-观察法31第四节高维定解问题的分离变量法球域内Laplace方程的边值问题球域内波动方程的初边混合问题球域内热传导方程的初边混合问题32球域内Lapl

5、ace方程的边值问题球面坐标变换33隐含着的周期边值条件和球内约束条件34第一步：求满足方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解R(r)：()：()：35R(r)：()：欧拉方程第二步：求R(r)，()和()的具体表达式36()：()=(cos-1x)=y(x)：缔合勒让德方程37第三步：利用边界条件求解38举例半径为a的球形内部没有电荷，球面上的电势为sin2cossin，求球形区域内部的电势分布39附记：球函数R(r)：Y(,)：球函数球方程40球域内波动方程的初边混合问题41第一步：

6、首先将时间变量与空间变量分离开来，即求形如T(t)：v(x,y,z)：其中k是待定常数42第二步：求解T(t)第三步：求解v(x,y,z)43求如下形式的解R(r)：Y(,)：球函数球Bessel方程球Bessel函数44第四步：利用初始条件求解45球域内热传导方程的初边混合问题46附注对于其它特殊区域上的定解问题我们同样可以利用分离变量法进行求解例如：半球内或外、圆柱上的Laplace方程的边值问题半球内或外、圆柱上的波动方程和热传导的初边混合问题等47第五节对非齐次边界条件和非齐次方程的处理对非齐次边界条件的处理叠加原理对非齐

7、次方程的处理48对非齐次边界条件的处理将非齐次边界条件化为齐次边界条件49其中w可以取或50叠加原理51对非齐次方程的处理冲量定理法Fourier级数法52Fourier级数法满足齐次边界条件正交完备系53预设则有54其中55举例-共振56当趋向于某个特征频率k，则有这说明当=k时，对应于第k个特征频率k的振动元素的振幅随时间的增加而增大，这种现象称为共振57当=5时58==2问题：在本例中为什么在=2时不发生共振？=359此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！