高斯公式通量与散度ppt课件.ppt

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1、第六节Green公式Gauss公式推广一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度高斯公式通量与散度第十章第六节高斯公式通量与散度第十一章1一、高斯公式2证明3根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法45同理------------------高斯公式和并以上三式得：6Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知7使用Guass公式时应注意:8二、简单的应用解9(利用柱面坐标得)1011解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式1213故所求积分为14在闭区域上

2、具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例3.设函数其中是整个边界面的外侧.分析:高斯公式15证:令由高斯公式得移项即得所证公式16*三、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1.连通区域的类型设有空间区域G,若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G为空间二维单连通域;若G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通域.例如,球面所围区域环面所围区域立方体中挖去一个小球所成的区域不是二维单连通区域.既是一维也是二维单连通区域;是二维但不是一维单连通区域;是一维但172.闭曲面积分为零的充要条件定理2.在空间二维单连通域G内具有连续

3、一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则①证:“充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.的充要条件是:②“必要性”.用反证法.已知①成立,18因P,Q,R在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域则由高斯公式得与①矛盾,故假设不真.因此条件②是必要的.取外侧,19四、物理意义----通量与散度1.通量的定义:202.散度的定义:21散度在直角坐标系下的形式积分中值定理,两边取极限,22高斯公式可写成23*例4.置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为解:计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.241.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)

4、(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:五、小结252.通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为G内任意点处的散度为26思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？27思考题解答曲面应是分片光滑的闭曲面.28思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2)为29练习题303132练习题答案33备用题设是一光滑闭曲面,所围立体的体是外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:设的单位外法向量为则的夹角,积为V,34高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他

5、的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.35此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！