高数下曲面及其方程ppt课件.ppt

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1、四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面机动目录上页下页返回结束曲面及其方程第七章1一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.机动目录上页下页返回结束2定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z

2、)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).机动目录上页下页返回结束3故所求方程为例1.求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.机动目录上页下页返回结束4例2.研究方程解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨

3、迹.机动目录上页下页返回结束5定义2.一条平面曲线二、旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:机动目录上页下页返回结束6建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点给定yoz面上曲线C:则有则有该点转到机动目录上页下页返回结束7思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？机动目录上页下页返回结束8例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动目录上页下页返回

4、结束9例4.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动目录上页下页返回结束10三、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的一种基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)机动目录上页下页返回结束111.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任

5、一点与原点的连线均在曲面上.①(我们还可以用伸缩变形的方法来得到椭圆锥面的形状。)机动目录上页下页返回结束12沿着y轴方向伸缩b/a倍，就变为椭圆例如，把圆类似的，把空间图形沿着y轴方向伸缩b/a倍，就变为椭圆锥面那么，圆锥面利用圆锥面（旋转曲面）的伸缩变形来得到椭圆锥面的形状，这种方法是研究曲面形状的一种较简便的方法。132.椭球面机动目录上页下页返回结束球面是旋转椭球面的特殊情形，旋转椭球面是椭球面的特殊情形。把xoz面上的椭圆绕z轴旋转，得到的曲面称为旋转椭球面，其方程为再把旋转椭球面沿着y轴方向伸缩b/a倍，便

6、得到椭球面。143.双曲面(1)单叶双曲面把此旋转曲面沿着y轴方向伸缩b/a倍，即得到单叶双曲面。绕z轴旋转，得到旋转单叶双曲面机动目录上页下页返回结束15(2)双叶双曲面P18目录上页下页返回结束164.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.(p,q同号)机动目录上页下页返回结束用截痕法讨论它的形状。17四、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对

7、任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束18定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于C叫做准线,l叫做母线.机动目录上页下页返回结束19一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线机

8、动目录上页下页返回结束20内容小结1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.机动目录上页下页返回结束212.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:机动目录上页下页返回结束22斜率为1的直线