(学生)2正规模版夏清霞学案.doc

《(学生)2正规模版夏清霞学案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章空间向量与立体几何第二节立体几何中的向量方法第四课时利用空间向量求空间角高二数学编号：主备人：夏清霞审核人：张志伟班级：____组名：_________姓名：______时间：2011年1_月__日【学习目标】1.会求异面直线所成的角；2.会求线面角；3.会求二面角.【思维导图】【问题探究】1.我们可以通过求两条直线的方向向量的夹角来求两条直线所成的角。有同学认为“两条直线所成的角就是他们的方向向量的夹角，”你认为正确吗？能结合图形说明吗？2．我们可以通过求一条直线的方向向量和一个平面的法向量的夹角来求一条直线和一个平面所成的角。直线是平面的一条斜线。

2、设直线与平面所成的角为，那么直线的方向向量与平面的法向量的夹角与有怎样的关系？你能结合图形说明吗？3．我们可以通过求两个平面的法向量的夹角来求两个平面所成的角。设,是二面角的两个平面的法向量，那么向量,的夹角与二面角的平面角有什么关系？你能结合图形说明吗？【典型剖析】知识点一　求异面直线所成的角例1．已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，E、F分别为A1B1与BB1的中点，求异面直线BE与CF所成角的余弦值．解如图所示，设=a，=b，=c.则

3、a

4、=

5、b

6、=

7、c

8、=1，〈a,b〉=〈

9、b,c〉=〈a,c〉=60°,∴a·b=b·c=a·c=，而=+=a+c.=+=b+c,∴

10、

11、＝＝，

12、

13、＝.∴·＝·＝a·b－a·c－b·c＋c2＝，cos〈，〉＝=,∴异面直线BE与CF夹角的余弦值是.【反思感悟】　在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解．若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便.知识点二　求线面角例2．正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．解　方法一　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)

14、，C1，取A1B1中点M，则M，连结AM、MC1，有＝，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，由于·=0，·=0，∴MC1⊥面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1B所成的角θ.∵=,＝，∴·＝0＋＋2a2＝.而

15、

16、＝＝a，

17、

18、＝＝a，∴cos〈,〉＝＝.∴〈，〉＝30°，即AC1与侧面AB1所成的角为30°.方法二　(法向量法)(接方法一)＝(0,0，a)，＝(0，a,0)，设侧面A1B的法向量n＝(λ，x，y)．∴n·＝0且n·＝0∴ax＝0，且ay＝0.∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)．∵＝，∴cos〈,n〉＝.设所求线面角为θ，则

19、sinθ＝

20、cos〈.，n〉

21、＝，θ＝30°.【反思感悟】】　充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．方法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算知识点三　求二面角　例3．如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A－BE－D的余弦值．解　以B为原点，以BC、BA、BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设平面EBD的一个法向量为n1＝(x，y,1)，因为＝(0,2,1

22、)，＝(3,3,0)，由得，所以，于是n1＝(，－，1)．又因为平面ABE的一个法向量为n2＝(1,0,0)，所以，cos〈n1，n2〉＝＝.所以，二面角A－BE－D的余弦值为.【反思感悟】　几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．【实战演练】（A级）1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)A．30°B．60°C．150°D．以上均错2．直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直

23、角顶点C在α内的射影是C′，则△ABC′是(　　)A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．各种情况都有可能3．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．（B级）1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE与CF所成角的余弦值．（C级）　１.如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦．（D级）1．若PA⊥平面ABC，

24、AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A—PB