流体力学 教学课件 作者 张国强 吴家鸣 第11章.ppt

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1、第11章有限差分法11.1有限差分法理论基础有限差分法求解偏微分方程定解问题的步骤：1）利用网格线将连续的定解域划分为有限离散点（节点）集；2）选取适当的途径将微分方程离散化为网格节点上的差分方程；3）将定解条件化为节点上的网格函数关系式；4）通过解差分方程和离散的定解条件构成的代数方程组，得到在离散点集上由近似值组成的离散解；5）节点之间的近似解应用插值方法确定。有限差分法理论基础11.1.1有限差分法简例平面泊肃叶流动：两固定平行平板间不可压粘性流体在压差作用下的定常平面平行流动。平面泊肃叶流动的求解最后就归结为一个二阶线性常微分方程的边值问题：：0

2、（0）=u（）=0以上定解条件的解析解为：有限差分法简例图11-1平面泊肃叶流动根据平面泊肃叶流动二阶线性常微分方程构造的差分方程为：j=1,2,…,5边界条件为：u0=u6=0有限差分法简例由差分方程确定的代数方程及其解分别为：有限差分法简例将以上数值结果与解析解比较，可以看出二者完全相同。当然这是指在节点上二者完全相同。但解析解是连续函数，而差分解是离散数值解，节点之间的流速分布要通过插值决定。从本例可看出应用有限差分法求解流体流动问题大致应包含以下三个部分：1)根据物理条件写出问题的控制微分方程和定解条件。2)将微分方程差分化。这包括：●把定解域离散化，选定

3、网格步长，建立网格，并将未知函数离散成节点值；●在所建立的网格上构成微分方程和定解条件的差分格式，形成关于未知节点函数值的代数方程组。3)解代数方程组求得流动问题的数值解。有限差分法简例11.1.2差分格式及其基本构造方法1.差商、逼近误差设有x的解析函数y=f(x)，则称为函数y=f（x）在点x的差商，而、分别称为函数及自变量的差分称表示的差商称为一阶向前差商，差商、逼近误差类似地，称一阶向后差商；称为一阶中心差商。而称二阶中心差商。差商、逼近误差从以上的差商表达式可知，所取差商不同，逼近误差也不同。对于一阶导数来说，向前差商和向后差商的逼近误差相同，都是量级，

4、具一阶精度；而一阶和二阶中心差商的逼近误差同是（）2量级，都具有二阶精度。对于一阶导数的差商逼近，中心差商的精度比向前差商和向后差商都要高。差商、逼近误差2.差分网格、差分方程【例11-1】一维对流方程初值问题的差分格式构建。微分方程和初值条件为图11-2网格剖分差分网格、差分方程在上述的网格剖分下，可写出对流方程定解问题的差分格式如下：像上式这样的时间导数采用向前差商近似，空间导数采用中心差商近似的格式称为FTCS（ForwardTimeCentralSpace）格式。差分网格、差分方程上述一维对流方程初值问题也可采用时间和空间都向前差分的格式来近似，这时差分方

5、程成为:像上式这样的时间导数和空间导数都采用向前差商近似的格式称为FTFS（ForwardTimeForwardSpace）格式。差分网格、差分方程若采用时间向前差分、空间向后差分，则可得到一维对流方程的FTBS（ForwardTimeBackwardSpace）差分格式：差分网格、差分方程图11-3格式图a)FTCS格式b)FTFS格式c)FTBS格式差分网格、差分方程FTCS、FTFS和FTBS三种格式对都是一阶精度；对，FTCS格式为二阶精度、FTFS和FTBS为一阶精度。这三种格式都只涉及两个时间层的量，只要已知第n层上的函数值就可以显式地计算第n+1层上

6、的函数值，因而都是显式差分格式。问题：用差分方法离散上述对流方程定解问题时，似乎FTCS、FTFS和FTBS三种格式都可以。那么，是不是对任一微分方程其差分格式都可以是任意的？差分网格、差分方程答：对于一个定解微分方程，可以用不同的差分格式离散，但不是任意的一个格式都可以获得合理的解；而且即使都是可用的（即可获得合理解的）差分格式，它们之间一般也存在着优劣。所以，为获得有意义的微分方程数值解，差分离散时应当遵循一定的基本原则、满足一定的条件。差分网格、差分方程11.1.3差分方程的相容性、收敛性和稳定性采用有限差分法求解由微分方程所描述的流体流动问题时，在确定差分

7、离散格式是否可用之前必须回答三个问题：当差分网格的时间与空间步长趋向于零时，差分方程是否充分逼近原微分方程；差分格式的真解是否充分逼近原微分方程的精确解；差分格式的近似解与真解之间的误差是否有界。这三个问题在有限差分法理论中分别称为相容性，收敛性和稳定性。相容性、收敛性和稳定性相容性所谓相容性是指当差分网格步长（时间步长和空间步长）都趋向于零时，差分方程的截断误差也趋向于零，表明差分方程在形式上逼近原微分方程；若在每一网格节点上差分方程与原偏微分方程都是等同的，则称差分方程与原微分方程相容。若网格步长趋向于零时，差分方程的截断误差不趋向于零，导致差分方程在形式上不

8、逼近于原微