线性代数课件--6.2矩阵对角化.ppt

《线性代数课件--6.2矩阵对角化.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§6.2矩阵对角化相似矩阵和矩阵的对角化问题定义对n阶矩阵A,B,若存在n阶满秩矩阵P,使成立则称A与B相似或称A相似于B.对A进行运算P−1AP称为对A进行相似变换;称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵．定理若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同，从而A和B的特征值也相同．证明根据题意，存在可逆矩阵P，使得P−1AP=B，故

2、B−lI

3、=

4、P−1AP−P−1(lI)P

5、=

6、P−1(A−lI)P

7、=

8、P−1

9、

10、A−lI

11、

12、P

13、=

14、A−lI

15、．注矩阵相似是一种等价关系.推论设n阶矩阵L=diag(l1,l2,…,ln)，则l1,l2,…,ln就是L的n个特

16、征值．故l1,l2,…,ln就是L的n个特征值．证明对n阶方阵A,如果可以找到可逆矩阵P,使得为对角阵,就称为把方阵A对角化.问题1：何为矩阵的对角化？可逆矩阵P，满足P−1AP=L（对角阵）AP=PLApi=lipi(i=1,2,…,n)其中?方阵P的列向量组线性无关A的特征值对应特征向量问题2：与对角矩阵相似的条件是什么？可逆矩阵P，满足P−1AP=L（对角阵）AP=PLApi=lipi(i=1,2,…,n)?方阵P的列向量组线性无关问题2：与对角矩阵相似的条件是什么？P.165定理n阶矩阵A和对角阵相似（即A可对角化）的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.

17、P.168推论如果A有n个不同的特征值，则A与对角阵相似，即A必可对角化.注当A的特征方程有重根时，就不一定能对角化矩阵对角化的主要工作在于求出其特征值与特征向量.例判断下列实矩阵能否化为对角阵？解得齐次线性方程组为例判断下列实矩阵能否化为对角阵？解得齐次线性方程组为得基础解系例判断下列实矩阵能否化为对角阵？解得齐次线性方程组为例判断下列实矩阵能否化为对角阵？解三特征向量即A有3个线性无关的特征向量,所以A可以对角化.线性无关例判断下列实矩阵能否化为对角阵？解此时齐次方程组为得基础解系故A不能化为对角矩阵.把建立分解式称为将矩阵A对角化若对矩阵A,存在可逆矩阵P,

18、使成立解例设求出可逆矩阵P使得P-1AP为对角阵.问A能否对角化？若能对角化,得基础解系齐次线性方程组为齐次线性方程组为得基础解系得基础解系得基础解系A可以对角化.线性无关,令在由线性无关特征向量构作满秩矩阵P时,各特征向量的排列次序可任意安置,但在写对角阵Λ时，需注意将各对角线元即特征值要作保持序号一致的安排.今后,常称分解式中的对角阵Λ为A可对角化矩阵A的相似标准形.显然,若不计其主对角线元的顺序,则Λ是惟一确定的.作业P186.7,8