复变函数与积分变换 柯西积分定理.ppt

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1、§3.2柯西积分定理一、柯西基本定理二、闭路变形原理三、复合闭路定理四、路径无关性五、原函数(?)证明Green公式C-R方程D(?)Green公式C-R方程证明一、柯西基本定理定理设函数f(z)在单连通域D内解析，G为D内的任意一条简单闭曲线，上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。则有GGP60定理3.2注(1)定理中的曲线G可以不是简单闭曲线。(2)定理中的条件还可以进一步减弱。定理设单连域D的边界为C，函数f(z)在D内解析，则有CD在上连续，D一、柯西基本定理定理设函数f(z)在单连通

2、域D内解析，G为D内的任意一条简单闭曲线，则有GGP60[注]二、闭路变形原理将柯西积分定理推广到二连域定理设二连域D的边界为(如图)，函数在D内解析，在C上连续，或Dab证明如图，作线段ab，则二连域D变为单连域，由或则从而有P61定理3.4D在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。二、闭路变形原理闭路变形原理如图，设在D内解析，在边界上连续，G为D内的一条“闭曲线”，则P62DrCG解如图以为圆心r为半径作圆，则函数在因此有当时，当时。上解析，▲重要三、复合

3、闭路定理将柯西积分定理推广到多连域函数在D内解析，或设多连域D的边界为(如图)，定理DC1C2C0C3Cn…在C上连续，则证明(略)P62推论令解则奇点为(1)当C为时，C(1)(2)其中C为：例计算C3210P62例3.7修改令解C1C2则奇点为(2)当C为时，令C1：C2：则C(1)(2)其中C为：例计算C3210的简单曲线，四、路径无关性定理设函数f(z)在单连通域D内解析，C1,C2为D内的任意两条从到证明由可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，则有P60定理3.3计算例其中C为如图所示的一个半圆。x

4、yCi2G解设G如图所示，处处解析，问是否可以直接计算？因此有即由于在复平面上P61例3.6五、原函数设在单连域D内，函数恒满足条件定义则称为在D内的一个原函数。1.基本概念及性质函数的任何两个原函数相差一个常数。性质设和是的两个原函数，则证明其中，c为任意常数。函数的原函数称为的不定积分，定义记作P64定义3.2补D五、原函数2.由变上限积分构成的原函数定理若在单连域D内处处解析，则在D内解析，且令证明(思路)(1)直线段P63定理3.5(跳过?)证明(思路)(2)(当充分小时)即D五、原函数2.由变上限积分构成的原函

5、数定理若在单连域D内处处解析，则在D内解析，且令直线段由于也是的一个原函数，证明有3.Newton-Leibniz公式定理若在单连域D内处处解析，为的原函数，P64定理3.6五、原函数例求解例求解例求解解P65例3.9休息一下……