中考数学深度复习讲义-等腰三角形〖无忧资源〗.doc

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1、中考数学深度复习讲义——等腰三角形◆考点聚焦1．等腰三角形的判定与性质．2．等边三角形的判定与性质．3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题．◆备考后法1．运用三角形不等关系，结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论．2．要正确辨析等腰三角形的判定与性质．3．能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题．◆识记巩固1．等腰三角形的性质定理及推论：____________________________．2．等腰三角形的判定定理及推论：_____________

2、_______________．识记巩固参考答案:1．等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边（三线合一）；等边三角形的各有都相等，且每个角都等于60°.2．如果一个三角形的两角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.◆典例解析例1（浙江衢州，23,10分）是一张等腰直角三角形纸板，.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法

3、（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.（第23题）（第23题图1）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得.如图乙，设，则由题意，

4、得又甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为的中点，解法2：如图甲，由题意得如图乙，设甲种剪法所得的正方形的面积更大(2)(3)(3)解法1：探索规律可知：‘剩余三角形的面积和为：解法2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为第二次剪取后剩余三角形面积和为第三次剪取后剩余三角形面积和为…第十次剪取后剩余三角形面积和为例2如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点．①AD平分∠BAC；②DE⊥AB，DF⊥AC；③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③；①③②；

5、②③①．（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．解析（1）①②③正确；①③②错误；②③①正确．（2）先证①②③，如图1．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°．在Rt△AED和Rt△AFD中，∴△AED≌△AFD（HL）．∴AE=AF．∴△AEF是等腰三角形，∴AD⊥EF．再证②③①．图1图2图3方法一：如图2，DE⊥AB，EF⊥AD，DF⊥AC．易证△DEH∽△DAE，△DFH∽△DAF．∴，∴DE2=AD·DH，DF2=DH·AD．∴DE2=DF2，∴D

6、E=DF，∴AD平分∠BAC．方法二：如图3，取AD的中点O，连结EO，FO．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线．∴OE=AD，OF=AD．即O点到A，E，D，F的距离相等．∴A，E，D，F四点在以O为圆心，AD为半径的圆上，AD是直径，EF是⊙O的弦，而EF⊥AD，∴AD平分，即．∴∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC．点评本题是义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）八年级上第111页拓广探索题的变式与拓展，该例在教材中多次以不同形式出现，八年级（上）（人教版）第150页第13题，第1

7、58页第11题．因此，在九年级的学习过程中一定要重视教材中的典型例题，习题，想一想这些题还可以进行怎样的变式，与前后的知识与方法有什么联系，还可以得到什么结论等．这样可以不断提高自己的综合解题能力．真题一、选择题1.（浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　　）（A）（B）（C）（D）（第7题）【答案】B2.（四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿AC

8、E;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【答案】D3.（浙江义乌，10，3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE