计算方法实验指导书.doc

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1、《计算方法》实验指导书汪荣贵编计算机学院计算机应用教研室2006年2月20前言《计算方法》所涉及的都是可以直接在计算机上求解的数值方法。这些方法既有数学的抽象性与严密的科学性，又有应用的广泛性与实验的高度技术性。故结合课堂教学，本课程配备适当的上机实验(12个学时)，通过实验可以加强学生对数学模型的总体分析，算法选取，上机调试和结果分析等环节的训练。本实验指导书共包含5个实验，要求学生在12个实验课时内完成，并提交实验报告,以此可作为《计算方法》课程成绩评定的一部分。20目录前言2实验一插值与拟合41实验目的42实验内容43算法基本原理54算法描述65计算

2、用例的参考输出66思考题6实验二数值积分71实验目的72实验内容73算法基本原理84算法描述95计算用例的参考输出106思考题10实验三非线性方程求根迭代法111实验目的112实验内容113算法基本原理114算法描述125计算用例的参考输出126思考题12实验四求解线性方程组131实验目的132实验内容133算法基本原理144算法描述155计算用例的参考输出156思考题16实验五数值微分171实验目的172实验内容173算法基本原理174算法描述185计算用例的参考输出186思考题19实验报告内容要求2020实验一插值与拟合1实验目的(1)明确插值多项式和

3、分段插值多项式各自的优缺点；(2)编程实现拉格朗日插值算法，分析实验结果体会高次插值产生的龙格现象；(3)理解最小二乘拟合，并编程实现线性拟合，掌握非线性拟合转化为线性拟合的方法(4)运用常用的插值和拟合方法解决实际问题。2实验内容(1)对于要求选取11个等距插值节点，分别采用拉格朗日插值和分段线性插值，计算x为0.5,4.5处的函数值并将结果与精确值进行比较。输入：区间长度，n(即n+1个节点)，预测点输出：预测点的近似函数值，精确值，及误差（2）对于给定的一元函数的n+1个节点值。数据如下：0.40.550.650.800.951.050.410750

4、.578150.696750.901.001.25382求五次拉格朗日多项式和分段三次插值多项式，计算的值。输入：数据点集及个数，预测点。输出：预测点的近似函数值（3）在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间的拟合曲线。分）051015202530354045505501.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64输入：数据点集及个数。输出：拟合函数，并打印出与的误差提示：近似解析表达式为（4）用线性拟合编程实现给药方案背景知识：一种新药用于临床之前，必须设计给药方案.临床上，每种药物有一个

5、最小有效浓度c1和一个最大有效浓度c2。20设计给药方案时，要使血药浓度保持在c1~c2之间。本题设c1=10，c2=25(ug/ml).在实验方面，对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得血药浓度c(ug/ml)如下表:t(h)0.250.511.523468c(mg/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01问题：A.在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律B.设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长提示：A.血药浓度的

6、变化规律符合指数关系B.将指数关系转化为线性关系3算法基本原理当精确函数y=f(x)非常复杂或未知，在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…yn=f(xn)，希望由此构造一个简单易算的近似函数g(x)»f(x)，满足条件g(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的g(x)称为f(x)的插值函数，由插值函数可以去近似估计f(x)在一些未知点处的函数值。最常用的插值函数是多项式插值。所谓多项式插值即求n次多项式使得基于基函数的拉格朗日插值是构造多项式插值最基本方法。也是推导数值微积分和微分方程数值解的公式的理论基础。拉格朗日插值公式为：其中当结

7、点比较多，次数较高的插值多项式往往发生Runge现象，分段低次插值是避免Runge现象的重要手段。分段一次插值将整个区间分段，在每个小区间上，用一次多项式逼近f(x)，直观上即用折线代替曲线，只要区间足够小就可以保证很好的逼近效果，但曲线缺乏光滑性。除了插值，逼近复杂函数f(x)的另一种方法是拟合。结点数据比较多，或者不够精确，往往采用拟合的方法。用来拟合的简单函数p(x)，不需严格通过给定结点，但在这些结点处总体误差达到极小，即满足最小二乘拟合的条件。线性拟合是最简单的拟合方法，许多非线性问题都可以转化为线性拟合。令线性函数为a0+a1x，要确定a0和a

8、1，最终求解如下线性方程组：20图1.1拉格朗日插值算法4算法描述