高中数学专题讲义---函数.doc

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1、专题二——函数一．函数的概念与性质（一）函数的概念1.映射的定义：设A,B是两个非空集合，若存在某对应法则，使得对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，则称这种对应为集合A到集合B的一个映射,记作：.A中的元素称为原像，B中的对应元素称为的像，记作：.注1：映射是一种特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是“一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对多”的对应。因此，要判断一个对应是否是映射，应采取的方法是：首先检验集合A中的每一个元素在集合B中是否都有像；然后看集合A中的每一个元素在集合B中的像是否唯一。另外，还要注意：映射是有方向

2、性的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的。注2：对映射定义的正确理解，我们必须搞清楚这样一个事实：若为A到B的一个映射，则A中的每一个元素在B中都有像，且唯一；而B中的每一个元素在A中未必都有原像，即使有，也未必唯一。例.若能构成映射，则下列说法正确的有（）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（4）像的集合就是集合B.A、1个B、2个C、3个D、4个2.函数的概念：（1）用集合的观点来定义函数：设A,B是两个非空数集，若存在某对应法则，使得对于集合A中的任意元

3、素，在集合B中都有唯一确定的数与之对应，则称这种对应为集合A到集合B的一个函数,记作：，或.这里叫做自变量，叫做函数。自变量的取值范围（即数集A）叫做这个函数的定义域，与的值相对应的的值叫做函数值。所有的函数值构成的集合叫做这个函数的值域，显然值域.（2）用映射的观点来定义函数：设A,B是两个非空数集，是A到B的一个映射，则称映射为A到B的一个函数。这里，我们称原像的集合A为这个函数的定义域，像的集合C为这个函数的值域，显然值域.注1：函数是一种特殊的映射，其“特殊性”在于，集合A与集合B只能是非空数集。也就是说，函数实质上是非空数集A到非空数集B的一

4、个映射。因此，函数一定是映射，而映射不一定是函数，只有两个非空数集之间的映射才是函数。注2：定义域=原像集合A，值域集合B.注3：函数的以上两种定义虽表述不同，但其实质都是相同的。3.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.注：在函数的这三个要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此我们也可以说函数只有两要素：定义域、对应法则。4.两个函数表示同一函数的条件：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都相同时，它们才表示同一函数。例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.B.C.D..例2.下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与.A、①

5、②B、①③C、③④D、①④5.区间的概念和记号：设，且，我们规定：（1）满足不等式的实数构成的集合为闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数构成的集合为开区间，表示为；（3）满足不等式或的实数构成的集合为半开半闭区间，分别表示为（左闭右开区间），（左开右闭区间）；这里，实数叫做相应区间的端点。6.确定映射的个数：定理：设集合，集合分别含有个元素，则可建立从A到B的映射个数是；从B到A的映射个数是.例.设集合，则可建立从A到B的映射个数是＿；从B到A的映射个数是＿；从A到B的函数有＿个.7.高考创新题型：例.规定数表的平方运算规则如下：。试计算＿（二）函数

6、的解析式与定义域1.函数的表示方法：表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：就是把两个变量的函数关系用一个等式来表示，我们称这个等式为函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的关系；（3）图像法：就是用函数关系来表示两个变量的关系。2．函数解析式的求法：（1）配凑法适用类型：已知复合函数的解析式时，可优先考虑配凑法或换元法，具体视题型而定。例.已知函数，求（2）换元法适用类型：已知复合函数的解析式时，可优先考虑配凑法或换元法，具体视题型而定。。当采用换元法时，要特别注意“元”的取值范围。例.已知函数，求（3）待定系

7、数法适用类型：已知函数解析式的类型时，可优先考虑待定系数法。例.已知函数是一次函数，且满足，求（4）解方程组消参法适用类型：已知抽象函数满足某一特定的等量关系时，可优先考虑解方程组消参法。例.已知函数满足，求3.由解析式表示的函数的定义域的求法：求由解析式表示的函数的定义域时，常见的有以下几种情况：（1）若函数是整式，则该函数的定义域是实数集R；例如，直线的定义域为；曲线的定义域为（2）若函数是分式，则该函数的定义域是使分母不为零的实数集合；例如函数的定义域为（3）若函数是二次（偶次）根式，则该函数的定义域是使根号内的式子大于等于零的实数集合；例如函数

8、的定义域为（4）若函数是对数式，则该函数的定义域是使对数式子大于零且使底数式子大于零而不等于1