《选修11：直线与椭圆的位置关系》教案.doc

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1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长(分钟)2课时知识点直线与椭圆的位置关系。常见的几类问题（交点个数问题、弦长问题、中点弦问题）教学目标1．掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法．2．掌握有关椭圆弦长问题的求解方法．教学重点直线与圆锥曲线的位置关系的判断和弦长的求解教学难点数形结合思想的应用《选修11：直线与椭圆的位置关系》教案本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示

2、学生的研究过程来激励学生的探索勇气．【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】直线与圆有哪些位置关系？怎么判断的？想一想：直线与椭圆有哪些位置关系，能用直线与圆的位置关系的判断方法来判断吗？如果不能，你有哪些方法？二、知识讲解考点1直线与椭圆的位置关系考点1单调函数的定义胞【问题导思】直线与椭圆的位置关系如何判断？【提示】判断直线l与椭圆C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入椭圆C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，即消去y，得ax2＋b

3、x＋c＝0．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0直线与椭圆C相交；Δ＝0直线与椭圆C相切；Δ<0直线与椭圆C相离．考点2弦长公式【问题导思】直线与椭圆相交时，弦长怎么求？【提示】设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则或．然后联立直线与椭圆的方程，建立关于变量x(或变量y)的一元二次方程，运用韦达定理求弦长．三、例题精析例题1例题1类型一直线与椭圆的位置关系已知椭圆＋y2＝1．(1)当m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点？(2)当m＝2时

4、，求直线被椭圆截得的线段长．【思路探究】联立，消y得一元二次方程→Δ判别式→m的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长．【自主解答】(1)联立消去y得，5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0．①因为Δ＝64m2－80(m2－1)>0，所以－

5、式进行判别．例题22．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用AB＝

6、x1－x2

7、＝进行求解，也可利用AB＝

8、y1－y2

9、＝·进行求解．已知椭圆4x2＋5y2＝20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，求弦长AB．【思路探究】求出焦点F的坐标→求出直线l的斜率→设直线l的方程→联立方程→利用根与系数的关系设而不解→由弦长公式求解【自主解答】椭圆方程为＋＝1，a＝，b＝2，c＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1(不失一般性，设l过左焦点)，由消去y，得9x2＋10x－15＝0．设A(x1，y1)，B(x2，

10、y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，AB＝

11、x1－x2

12、＝·＝·＝·＝．【方法回顾】1．解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．2．利用弦长公式求弦长时，没必要验证方程的Δ>0．例题1类型二求中点弦所在的直线方程已知(4，2)是直线l被椭圆＋＝1所截得

13、的线段的中点，则l的方程是________．【自主解答】方法一：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，且＋＝1，两式相减，得＝－．又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0．方法二：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线方程为，即．联立方程，得，即．又x1＋x2＝8，所以，解得．故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0．【总结与反思】处理中点弦问题常用的求解方法1．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入

14、圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．2．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在