天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷(理科)(Word版含解析).doc

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1、天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2iB．﹣2+2iC．2﹣2iD．2+2i2．（5分）已知全集U=R，A={y

2、y=2x+1}，B={x

3、

4、x﹣1

5、+

6、x﹣2

7、＜2}，则（∁UA）∩B=（）A．∅B．{x

8、＜x≤1}C．{x

9、x＜1}D．{x

10、0＜x＜1}3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）

11、A．2B．4C．5D．204．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=3，a+b=2的最大值为（）A．2B．C．1D．6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7．（5分）如图F1、

12、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为

13、P1P2

14、=

15、x1﹣x2

16、+

17、y1﹣y2

18、．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于

19、F1F2

20、）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输

21、出的结果是．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，

22、1]不等式

23、f（x1）﹣f（x2）

24、≤a﹣1恒成立，则a的取值范围．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16．（13分）已知函数f（x）=

25、2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆

26、于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn=（2n﹣1）an+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．20．（14分）设函数f（x）=l

27、nx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡