分块矩阵ppt课件.ppt

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1、分块矩阵一.分块矩阵的运算规则二.分块矩阵的一些例子矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。1、矩阵分块的方法例如即说明(1).矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的分块方法，应根据需要进行选择。2、矩阵分块一般形式矩阵A=(aij)m×n，在行方向分s块，列方向分t块，称A为s×t分块矩阵，第k行l列子块Akl是mk×nl阶矩阵。各子块行数各子块列数说

2、明(2).矩阵分块三原则：体现原矩阵特点，依据问题需要，子块可以作元素运算。一、分块矩阵的运算规则设A、B是m×n阶矩阵，采用相同的分块法分块将A、B分块如下：1、分块加法注.分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一是分块矩阵的元素；二是本身是矩阵。2、分块数乘设A是m×n阶矩阵，任意分块，k是常数，则定义3、分块乘法设A是m×l阶矩阵，B是l×n阶矩阵，即A的列数=B的行数即A的列分块法=B的行分块法分块A=(Auv)s×rB=(Bvw)r×t则A与B的乘积C=(Cuw)是s×t阶分块矩阵，满足注.分块矩阵乘积AB中，

3、每个子块：（1）作为分块阵元素参与运算（2）作为矩阵也要满足乘法条件例1.用分块矩阵法求AB解：则又于是说明(3).矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程更简单，计算量更少。4、分块转置设矩阵A=(Aij)是s×r阶分块矩阵例1的计算量比较：直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数合计32次说明：分块转置中，每个子块一方面作为分块阵元素要转置；另一方面作为矩阵本身也要转置。分外层、内层双重转置特别地，对于列分块矩阵：二、一些特殊的分块矩阵1.2阶分块上（下）三角形矩阵求逆例2.求下列2阶分

4、块逆矩阵其中A11，A22可逆矩阵其中B12，B21可逆矩阵解(1)：设A的分块逆矩阵为得到4个矩阵方程组求解该方程组，得(2)（解略，请仿(1)方法自行求解）设A1,A2,…,As均为方阵（不一定同阶），则称下面的A为分块对角矩阵2.分块对角矩阵如果矩阵A1,A2,…,As均可逆，则分块对角矩阵A可逆，且其逆矩阵为说明：分块对角阵的逆矩阵，与对角矩阵的逆矩阵形式类似。3.矩阵乘积AB，A不分块，B按列分块设矩阵A、B分别是s×n和n×t阶矩阵，A不分块，B按列分块，即则例3.求解下列矩阵方程说明：矩阵方程AX=B可看

5、成t个线性方程组Ax1=b1,Ax2=b2,…,Axt=bt其中B=(b1,b2,…,bt)，X=(x1,x2,…,xt)解：对增广矩阵(A,B)进行初等行变换r2+r1r3-2r1-r2r1-2r2r3+r2于是方程组Ax1=b1有解当且仅当λ=0时，Ax2=b2有解所以矩阵方程AX=B在参数λ=0时，有解：说明：利用增广矩阵的初等行变换，可以对矩阵方程AX=B的t个线性方程组同时进行求解。4.矩阵乘积AB，A按列分块，B每个元素为块（1）设矩阵A是s×n矩阵，X是n×1矩阵：将A按列分块，即则我们将表达式称为向量的

6、线性组合，称为组合系数。说明(1).对于线性方程组Ax=b，利用这样的分块方式，可以得到线性方程组的向量形式说明(2).如果记ei是第i个分量为1，其余分量为0的列向量，则同样记εi是第i个分量为1，其余分量为0的行向量，则εiA表示A的第i个行向量。（2）设矩阵A是s×n矩阵，B是n×t矩阵，将A按列分块，则即AB的每个列向量，都是A的列向量的线性组合。例4.设A是2阶矩阵，x是2维非零列向量。若求矩阵C，使得AB=BC。（见教材P69例2.15）§2.4矩阵的秩一.秩的概念二.初等变换和矩阵的秩初等行变换，可以将矩

7、阵A化为阶梯形矩阵。这个阶梯阵的阶梯数，是由矩阵秩唯一确定的，故引入矩阵的秩概念。三.矩阵的等价标准形一.秩的概念在Amn中，任取k行、k列(km,kn)，位于这些行列交叉处的k2个元素，按原有的位置次序所构成的k阶行列式，称为A的k阶子式。1.k阶子式说明(1).A共有个k阶子式。例如2阶非零子式3阶零子式2.秩的定义矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记为r(A)=r或rank(A)=r。说明(1).0r(Amn)min{m,n}说明(2).规定零矩阵的秩为0，即r(O)=0说明(3).对于n阶

8、矩阵A，有A为满秩矩阵更一般地，如果mn阶矩阵A满足r(A)=m，A为行满秩矩阵r(A)=n，A为列满秩矩阵例1.解：在A中，例2.见教材P71例2.18例3解注.阶梯阵的秩等于其阶梯数，即非零行行数。3.矩阵秩的性质（利用行列式的性质证明上述性质）命题2.1：r(A)=rA至少存在一个r阶非零子式，同时A所有r+1阶子式为零