理学格林函数的应用ppt课件.ppt

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1、4.3格林函数的应用由公式分表示出来。则在这个区域内，可知，对于一个由曲面普拉斯方程的狄利克雷问题的解就可以用此积源像法(镜像法)求得。拉它的格林函数可用静电对于某些特殊区域，只要求出它的格林函数，来说，围成的区域(20)(17)14.3格林函数的应用关于的像点(对称点)所谓镜像法，处放置适当的负电荷，此时二者形成电场在然后在这个像点点由它所产生的负电位与边界外找出点就是在区域(20)(17)内的电位，处的单位正电荷所产生的正电位在曲面上互相抵消，就相当于所要求的格林函数。2(20)(17)4.3.1半空间的格林函数及狄利克雷问题求解上半空间内的狄利克雷问题(2

2、3)(22)先求出格林函数为此，在上半空间的点处放置一单位正电荷，在点的对称点关于平面处放置一单位负电荷。3(20)(17)4.3.1半空间的格林函数及狄利克雷问题求解上半空间内的狄利克雷问题(23)(22)由它们所形成的静电场的电位在平面上因此，上半空间的格林函数为恰好为0.(24)4(20)为了求得问题(22)(23)的解，需要计算由于在平面上的外法线方向是向，因此，轴的负(24)5(20)为了求得问题(22)(23)的解，需要计算由于在平面上的外法线方向是向，因此，轴的负(24)6(20)为了求得问题(22)(23)的解，需要计算由于在平面上的外法线方向是

3、向，因此，轴的负(24)7(20)为了求得问题(22)(23)的解，需要计算由于在平面上的外法线方向是向，因此，轴的负(24)(25)将(25)代入(20)中，得到定解问题(22)(23)的解(26)8(26)设在均匀的半空间的边界上保持定常温度,在圆之内等于1，例1而在其外等于0.求在半空间内温度的稳定分布。解这个问题归结为如下定解问题由公式(26)可得9应用极坐标：在轴的正半轴上，有是圆域，由于积分区域特别地，得当沿轴的正半轴趋于无穷时，10补充4半平面的格林函数及狄利克雷问题(20’)(17’)求解上半平面内的狄利克雷问题(23’)(22’)先求出格林函数

4、为此，在上半平面的点处放置一单位正电荷，在点的对称点关于边界处放置一单位负电荷。11由它们所形成的静电场的电位在边界上因此，上半平面的格林函数为恰好为0.(24’)补充4半平面的格林函数及狄利克雷问题(20’)(17’)求解上半平面内的狄利克雷问题(23’)(22’)12为了求得问题(22’)(23’)的解，需要计算由于在边界上的外法线方向是向，因此，轴的负(20’)(24’)13为了求得问题(22’)(23’)的解，需要计算由于在边界上的外法线方向是向，因此，轴的负(20’)(24’)14为了求得问题(22’)(23’)的解，需要计算由于在边界上的外法线方向是

5、向，因此，轴的负(20’)(24’)15(25’)将(25’)代入(20’)中，可得半平面拉普拉斯方程(26’)因此，(20’)(23’)(22’)解的积分表达式狄利克雷问题16(20)(17)4.3.2球域的格林函数及狄利克雷问题求解球域上的狄利克雷问题：(28)(27)其中是以边界为为心，现在利用静电源像法求球的格林函数。为此，在半射线为半径的球域，上截取在球内任取一点线段使(29)17(20)(17)点称为点的反演点或对称点。关于球面要适当选取电位在球面上正好抵消。则应有满足关系式设是球面上任一点，(29)为求出格林函数在点处放置单位正电荷，我们的值，使得

6、这两个点电荷所产生的在点处放置单位的负电荷，18(20)(17)与在点而夹此角有公共角，三角形相似。也就是说我们必须在点电荷。处放置由于单位的负的相应两边按(29)式是成比例的，从而有因此这两个由此得19(20)(17)那么，以记则(30)式变形为的夹角，为球面的球域的格林函数就是是(30)和20(20)(17)利用关系式(29)则可得为了求解原问题(27)(28)的解，还需算出21(20)(17)在球面上，22(20)(17)在球面上，因此，由(20)得问题(27)(28)的解的表达式为(31)23(20)(17)因此，由(20)得问题(27)(28)的解的表

7、达式为(31)在球坐标系中，表达式(31)变为(32)公式(31)或(32)称为球域上的泊松公式24(32)公式(31)或(32)称为球域上的泊松公式其中上点的流动坐标，的球坐标，是点是球面夹角的余弦，是和由于所以25(32)其中设有一半径为的均匀球，保持为例2上半球面的温度温度的稳定分布。解这个问题归结为如下定解问题求球内下半球面的温度保持为26(32)其中解这个问题归结为如下定解问题利用公式(32)得27其中特别的，求温度在球的铅垂直径：(直径的上半部分)和(下半部分)上的分布。当时，故28其中特别的，求温度在球的铅垂直径：(直径的上半部分)和(下半部分)上

8、的分布。当时，故当时，故