2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题第一编讲方法第2讲数形结合思想练习文.doc

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1、第2讲　数形结合思想「思想方法解读」　数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化．数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题．热点题型探究热点1数形结合化解方程问例1　(1)(2019·聊城市高三一模)已知函数f(x)＝若关于x的方程f

2、(x)＝x＋a无实根，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，0)∪B．(－1,0)C.D．(0,1)答案　B解析　因为函数f(x)＝所以关于x的方程f(x)＝x＋a无实根等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a无交点，设直线y＝x＋a与f(x)＝(x>0)切于点P(x0，y0)，由f′(x)＝，由已知得＝1，解得x0＝1，则P(1,0)，则切线方程为y＝x－1，作出函数f(x)与直线y＝x＋a的图象如图所示．由图知函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a无交点时实数a的取值范围为－1

3、＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，0]B．[0,1)C．(－∞，1)D．[0，＋∞)答案　C解析　函数f(x)＝的图象如图所示，当a<1时，函数y＝f(x)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根．用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为

4、方程解(或函数零点)的个数．1．(2019·天津市重点中学毕业班联考(一))已知函数f(x)＝若方程f(x)＋

5、x－2

6、－kx＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　A解析　f(x)＋

7、x－2

8、－kx＝0有且只有三个不相等的实数根，等价于y＝f(x)＋

9、x－2

10、与y＝kx的图象有三个交点，画出y＝f(x)＋

11、x－2

12、＝-15-与y＝kx的图象如图，y＝kx与y＝x2＋3x＋2相切时，k＝3－2，y＝kx过(－3,2)时，k＝－，∴根据图象可知，－≤k<3－2时，两函数图象有三个交点，∴若方程f(x)＋

13、x－2

14、－

15、kx＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是，故选A.2．将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)的图象，若g(x)＋k＝0在x∈上有且只有一个实数根，则k的取值范围是(　　)A．k≤B．－1≤k＜－C．－＜k≤D．－＜k≤或k＝－1答案　D解析　将f(x)的图象向右平移个单位得到h(x)＝sin＝sin，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g(x)＝sin.所以g(x)＋k＝0，即为方程sin＋k＝0.令2x－＝t，因为x∈，所以－≤t≤.若g(x)＋k＝0在x∈上有且只有一个实数根，

16、即g(t)＝sint与y＝－k在上有且只有一个交点.-15-如图所示，由正弦函数的图象可知－≤－k＜或－k＝1，即－＜k≤或k＝－1.热点2　数形结合化解不等式问题例2　(1)(2019·安徽省江南十校高三联考)已知x，y满足z＝xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2－kx＋1≥0对x∈[a，b]恒成立，则k的取值范围为(　　)A．－2≤k≤2B．k≤2C．k≥－2D．k≤答案　B解析　作出表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然z＝xy的最小值为0，当点(x，y)在线段x＋2y＝3(0≤x≤1)上时，z＝xy＝x＝－x2＋x≤1；当点(x，y)在线段2

17、x＋y＝3(0≤x≤1)上时，z＝xy＝x(3－2x)＝－2x2＋3x≤；即a＝0，b＝；当x＝0时，不等式x2－kx＋1＝1≥0恒成立，若x2－kx＋1≥0对x∈恒成立，-15-则k≤x＋在上恒成立，又x＋在(0,1]上单调递减，在上单调递增，即min＝2，即k≤2.(2)已知关于x的不等式＞ax＋的解集为{x

18、4＜x＜b}，则ab＝________.答案　解析　设f(x)＝，g(x)＝ax＋(x≥0)．因为＞ax＋的解集为{x

19、4＜x＜b}，所以两函数图象在4＜x＜b上有f(x)＞g(x)，如图所示．当x＝4，x＝b时，由f(x)＝g(x)，可得解得

20、所以ab＝×36＝.数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分