人教版数学必修一习题.doc

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1、指数函数与对数函数的关系            撰稿:江用科  审稿:严春梅  责编:张杨一、目标认知学习目标  理解反函数的概念、互为反函数的图象间的关系;  指数函数与对数函数互为反函数的关系.重点  反函数的概念及互为反函数图象间的关系.难点  反函数概念.二、知识要点透析知识点一、反函数的概念及互为反函数两函数间的关系1.反函数概念:  当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数的反函数通常

2、用表示.  要点诠释:  (1)对于任意一个函数,不一定总有反函数,只有当确定一个函数的映射是一一映射时,这    个函数才存在反函数;  (2)反函数也是函数,因为它符合函数的定义.2.互为反函数的图象关系:  关于直线对称;3.互为反函数的定义域和值域关系:  反函数的定义域与值域是原函数的值域和定义域.4.求反函数的方法步骤:  (1)由原函数y=f(x)求出它的值域;  (2)由原函数y=f(x)反解出x=f-1(y);  (3)交换x,y改写成y=f-1(x);  (4)用f(x)的值域确定

3、f-1(x)的定义域.知识点二、指数函数与对数函数的关系  指数函数与对数函数互为反函数. 定义定义域值域图象性质指数函数y=ax(a>0且a≠1)叫指数函数(-∞,+∞)(0,+∞)(1)图象过点(0,1)(2)a>1,当x>0,y>1;当x=0,y=1;当x<0时0<y<1。0<a<1,当x>0,0<y<1;当x=0,y=1;当x<0,y>1。(3)a>1,y=ax为增函数;0<a<1,y=ax为减函数。对数函数y=logax(a>0且a≠1)叫对数函数(0,+∞)(-∞,+∞)(1)图象过点(1

4、,0)(2)a>1时,当x>1,y>0;当x=1,y=0;当0<x<1,y<0.0<a<1时,当0<x<1,y>0;当x=1,y=0;当x>1,y<0.(3)a>1,y=logax为增函数;0<a<1,y=logax是减函数.注意:指数函数、对数函数底数变化与图象分布规律.  (1)                  ①y=ax②y=bx③y=cx④y=dx则:0<b<a<1<d<c  又即:x∈(0,+∞)时,bx<ax<dx<cx(底大幂大)  x∈(-∞,0)时,bx>ax>dx>cx  (2)

5、                ①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx  则有:0<b<a<1<d<c  又即:x∈(1,+∞)时,logax<logbx<0<logcx<logdx(底大对数小)  x∈(0,1)时,logax>logbx>0>logcx>logdx经典例题透析类型一、求函数的反函数  1.已知f(x)=(0≤x≤4),求f(x)的反函数.  思路点拨:这里要先求f(x)的范围(值域).  解:∵0≤x≤4,∴0≤x2≤16,9≤25-x2≤25,∴3≤y≤

6、5,    ∵y=,y2=25-x2,∴x2=25-y2.∵0≤x≤4,∴x=(3≤y≤5)    将x,y互换,∴f(x)的反函数f-1(x)=(3≤x≤5).  2.已知f(x)=,求f-1(x).  思路点拨:求分段函数的反函数问题,应逐段求其反函数,再合并.  解:当x≥0时,y=x+1≥1,∴y∈[1,+∞),∴f-1(x)=x-1(x≥1);    当x<0时,y=1-x2<1,∴y∈(-∞,1),    反解x2=1-y,x=-(y<1),∴f-1(x)=-(x<1);    ∴综上f-

7、1(x)=.类型二、利用反函数概念解题  3.已知f(x)=(x≥3),求f-1(5).  思路点拨:这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值,所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实,转化成方程问题.  解:设f-1(5)=x0,则f(x0)=5,即=5(x0≥3)∴x02+1=5x0-5,x02-5x0+6=0.    解得x0=3或x0=2(舍),∴f-1(5)=3.  举一反三:  【变式1】记函数y=1+3-x的反函数为,则g(10)=()  A.2   B.-2   C.

8、3   D.-1  (法一)依题意,函数的反函数y=-log3(x-1),因此g(10)=-2.  (法二)依题意,由互为反函数的两个函数的关系,得方程1+3-x=10,解得x=-2,即g(10)=-2.答案B.  4.设点(4,1)既在f(x)=ax2+b(a<0,x>0)的图象上,又在它的反函数图象上,求f(x)解析式.  思路点拨:由前面总结的性质我们知道,点(4,1)在反函数的图象上,则点(1,4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a,b

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