函数导数中双变量问题的四种转化化归思想.doc

《函数导数中双变量问题的四种转化化归思想.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2012年　第8期　　　　　　　　　　　　　数学通讯（上半月）　　　　　　　　　　　　　　　8-12处理函数双变量问题的六种解题思想吴享平（福建省厦门第一中学）361000　　在解决函数综合题时，我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题，由于两个变量都在变动，因此不知把那个变量当成自变量进行函数研究，从而无法展开思路，造成无从下手的之感，正因为如此，这样的问题往往穿插在试卷压轴题的某些步骤之中，是学生感到困惑的难点问题之一，本文笔者给出处理这类问题的六种解题思想，希望能给同学们以帮助和启发。一、改变“主变量”思想例１.已知恒成

2、立，求实数的取值范围.　　分析：从题面上看，本题的函数式是以x为主变量，但由于该题中的“恒”字是相对于变量而言的，所以该题应把当成主变量，而把变量x看成系数，我们称这种思想方法为改变“主变量”思想。解：恒成立，即关于m为自变量的一次函数在时的函数值恒为非负值得。对于题目所涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定范围内任意变动，求另一个变元的取值范围问题，这类问题我们称之为“假”双变元问题，这种“假”双变元问题，往往会利用我们习以常的字母为变量的惯性“误区”来设计，其实无论怎样设计，只要我们抓住“任意变动的量”为主变量，“所要求范围的量”

3、为常数，便可找到问题所隐含的自变量，而使问题快速获解。二、指定“主变量”思想例２.已知试比较与的大小，并给出证明.分析：本题涉及到两个变量m,n，这里不妨把m当成常数，指定n为主变量，解答如下解：构造函数，，由在上恒成立，在上递增，，于是，当时，即>。因此，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为：指定“主变量”思想。三、化归为值域或最值思想例３.已知函数，对6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主管：中华人民共和国教育部

4、　主办：华中师范大学　湖北省数学学会　武汉数学学会　2012年　第8期　　　　　　　　　　　　　数学通讯（上半月）　　　　　　　　　　　　　　　8-12，求实数a的取值范围。分析：该题虽然在区间[－１，１]上有两个变量，但由于总有小于在区间上的最大值与最小值的差，因此该问题便可化归为求函数在区间上的最大值与最小值问题。解：由，，当时，，即在上递减；当时，，即在上递增，；，又由＝，构造函数，，在上递增，又，当时即。，因此，要题设中的不等式恒成立，只需成立便可，于是构造，，由，在上递增，又，又，因此，所求实数a的取值范围为.　四、化归为函数单

5、调性思想例4.已知，试比较的大小，并说明理由。分析：要比较的大小，由可知，只要比较与的大小比较与的大小即可，因此，只要研究函数单调性便可，解答如下。解：构造函数，在上恒成立，在上递减，由得<.例5.已知函数(),若对任意，，求的取值范围6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主管：中华人民共和国教育部　主办：华中师范大学　湖北省数学学会　武汉数学学会　2012年　第8期　　　　　　　　　　　　　数学通讯（上半月）　　　　　　　　　　　　　　　8-12　解：由，即在上单调递减，不妨让，，（

6、*），因此，构造函数，由（*）在上递减，在上恒成立在上恒成立，于是再次构造函数，由.当时；当时，，，因此满足题意要求的实数a的取值范围为.　　以上两例的解法均是通过等价转化与变形，使需要解决的问题等价化归为函数单调性问题来加以解决，我们将这一解题思想称之为：化归成函数单调性思想五、整体代换，“变量归－”思想　例６.已知函数，若是两个不相等的正数，且，试比较与2的大小，并说明理由。　　解：①，设，则②，构造函数＝，，由，当时；当时.，又因为，若时，则代入①式得，这与是两个不相等的正数相矛盾，＝，代入②式得。例７.已知函数有两个零点，且成等差

7、数列，试探究值的符号。6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主管：中华人民共和国教育部　主办：华中师范大学　湖北省数学学会　武汉数学学会　2012年　第8期　　　　　　　　　　　　　数学通讯（上半月）　　　　　　　　　　　　　　　8-12解：依题意得得，，不妨设，由（１）－（２）得①，又，将①式代入得，令，则②，构造函数，，在上恒成立。在递增，，，又因，，，所以恒为正值。例８.已知，且f(x)与g(x)有两个相异的交点　，线段AB的中点为M，过点M作与x轴垂直的直线，直线与函数和函数的

8、图象分别相交于点P、Q两点，问是否存在这样的两交点A,B，使得函数在P点处的切线与函数在Q点处的切线平行？若存在，求出满足条件的A,B两点的坐标；若不存在，说明理由。解：若满足题意的两点存在，