利用向量处理立几中的动点问题.doc

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1、利用向量处理立几中的动点问题在高考试题中，经常考查立体几何中的动点问题，在立体几何中常见的动点问题大致可分为以下几类：一是求动点轨迹问题；二是求动点与某点（或面）的距离问题；三是求直线与直线（或平面）垂直问题；四是求直线与直线（或平面）平行问题；五是平面与平面垂直问题。本文利用向量解决动点问题。一、直线与平面（或直线）垂直问题例1．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.解析：（Ⅰ）建立

2、如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1），从而设的夹角为θ，则DE例1题图（1）ABCP∴AC与PB所成角的余弦值为.（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则NzxyODE例1题图（2）ABCP，由NE⊥面PAC可得:∴即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.简评：本题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），然后利用NE⊥面PAC第2页共

3、2页，有求得动点N的坐标为.一、直线与平面（或直线）平行问题例2.如图，已知在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a点E在PD上，且PE：ED=2：1.在棱PC上有一动点F，当动点F移动到何处时，使BF∥平面AEC？证明你的结论。xABCPDEFzy例5题图解析：由题意知PA⊥平面ABCD，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过点A垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系。则A（0，0，0）、B（a，-a，0）、C（a，a，0）、D（0，a，0）、P（0，0，a）、E（0，a，a），所以=（0，a，a），=（a，a，

4、-a），=（-a，a，a），=（a，a，0），=（0，0，a），设点F是棱PC上的点，=λ=（aλ，aλ，-aλ），其中0<λ<1,则=（-a，a，a）+（aλ，aλ，-aλ）=（a（λ-1），a（1+λ），a（1-λ））.令=λ1+λ2,则此时,F为棱PC的中点.又BF平面AEC，所以当F是棱的中点时，BF∥平面AEC.简评：本题主要考查共面向量定理，令=λ1+λ2,由题意得到又BF平面AEC，说明BF∥平面AEC.此时F为棱PC的中点.第2页共2页