利用向量处理立几中的动点问题.doc

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1、利用向量处理立几中的动点问题在高考试题中,经常考查立体几何中的动点问题,在立体几何中常见的动点问题大致可分为以下几类:一是求动点轨迹问题;二是求动点与某点(或面)的距离问题;三是求直线与直线(或平面)垂直问题;四是求直线与直线(或平面)平行问题;五是平面与平面垂直问题。本文利用向量解决动点问题。一、直线与平面(或直线)垂直问题例1.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.解析:(Ⅰ)建立

2、如图所示的空间直角坐标系,则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0)、B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0,,1),从而设的夹角为θ,则DE例1题图(1)ABCP∴AC与PB所成角的余弦值为.(Ⅱ)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,O,z),则NzxyODE例1题图(2)ABCP,由NE⊥面PAC可得:∴即N点的坐标为,从而N点到AB、AP的距离分别为1,.简评:本题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,O,z),然后利用NE⊥面PAC第2页共

3、2页,有求得动点N的坐标为.一、直线与平面(或直线)平行问题例2.如图,已知在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD=a点E在PD上,且PE:ED=2:1.在棱PC上有一动点F,当动点F移动到何处时,使BF∥平面AEC?证明你的结论。xABCPDEFzy例5题图解析:由题意知PA⊥平面ABCD,以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴,过点A垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)、B(a,-a,0)、C(a,a,0)、D(0,a,0)、P(0,0,a)、E(0,a,a),所以=(0,a,a),=(a,a,

4、-a),=(-a,a,a),=(a,a,0),=(0,0,a),设点F是棱PC上的点,=λ=(aλ,aλ,-aλ),其中0<λ<1,则=(-a,a,a)+(aλ,aλ,-aλ)=(a(λ-1),a(1+λ),a(1-λ)).令=λ1+λ2,则此时,F为棱PC的中点.又BF平面AEC,所以当F是棱的中点时,BF∥平面AEC.简评:本题主要考查共面向量定理,令=λ1+λ2,由题意得到又BF平面AEC,说明BF∥平面AEC.此时F为棱PC的中点.第2页共2页

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