二重积分的计算 (2).ppt

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1、二重积分二重积分（承上启下）一元函数积分学多元函数积分学三重积分曲线积分曲面积分不定积分定积分1【要点】性质：被积函数有界性；可积性；对区域的可加性；估值与中值定理等。快捷算法：对称性，轮称性，质心法，几何意义法，分项法，分块法方法与技巧：(1)坐标系的选择；(2)积分次序的确定；(3)区域和函数的对称性的利用；(4)对区域可加性的利用；(5)几何、物理意义的利用.2区域的对称性－－简化计算(1)左右对称：区域D关于y轴对称，f(x,y)关于x奇或偶则“你对称，我奇偶”例：32.上下对称：区域D关于x轴对称，f(x,y)关于y奇或偶则例：43.轮换对称：区域D

2、关于直线y＝x对称，则代数特征：D的边界方程不因x，y的互换而改变常用方式：例：5（1）直角坐标——积分次序的选取被积函数与哪一个变量的关系简单，应先考虑对哪一变量积分。特别地，若被积函数是某一变量的函数，则先对另一变量积分。题型归类：1.常规方法计算二重积分（2）若被积函数f含，或区域D的边界与“圆、环、扇”形等相关，应考虑用极坐标。6常规方法计算二重积分－“怪”区域例1.【点拨】画示意图形，定次序（先y后x），定积分限。72.利用轮换对称性——简化计算（2）例2.轮换对称：区域D关于直线y＝x对称，则特征：x，y互换而D不变8f(x)为D上的正值连续函数，

3、a,b为常数，则(A)(B)(C)(D)[D]例3(05.2)设区域【点拨】被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析.特别：轮换对称性（x,y互换，D保持不变）9例4计算D2D1解3.利用（轴）对称性——简化计算（3）10例5.（01.3）设由直线及围成，求【点拨】被积函数分项，区域D分块，对称性例6.（06.1）设区域D=计算二重积分11例7.4.分段被积函数的二重积分【点拨】将区域D分块，以确定被积函数，用可加性.（05.2）12例8..（05.1）设例9.【点拨】将区域D分块，以确定被积函数，用可加性.(02.1)13（07_2.3.4）例10.设二

4、元函数计算二重积分其中145.交换积分次序：还原、定域、换序（系）、重定限例11.（换次序计算）求例12.（换次序计算）求例13（换极坐标计算）求【点拨】先将逐次积分“还原”为重积分，确定积分区域，再重定限，换序15例14（极坐标换次序）（0601）累次积分可以写成（B）（C）（D）【C】（A）166.积分方程例15.答：177.抽象函数的定积分（求值、等式、不等式）例16.（04.1）设f(x)为连续函数，则等于(B)(A)2f(2)(B)f(2)(C)-f(2)(D)0【点拨】交换次序，化为变上限积分，再求导例17.188.二重积分的应用平面区域D的面积：

5、空间立体的体积：空间曲面的面积：平面薄片的质量、重心、转动惯量：1920