南农线性代数之特征值习题.doc

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1、第五章特征值、特征向量及二次型一、填空题：　　1.设阶可逆矩阵A的一个特征值，则的一个特征值为；的一个特征值为；的一个特征值为。　　2.设3阶方阵A的特征值为特征值为；的特征值为，的特征值为。　　3.阶零矩阵的全部特征向量为。　　4.设正定，则的取值范围为。　　5.在中与向量，，都正交的一个单位向量为。　　6.若的特征值为。二、选择题:1、方阵相似于矩阵（）。(A)(B)(C)(D)2、实二次型正定的充要条件是（）。(A)(B)(C)阶矩阵(D)负惯性指数为零3、阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的。（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（

2、C）必要而非充分条件（D）既非充分条件而非必要条件4、设且A的特征值为0，1，2，则=（）。(A)1(B)2(C)3(D)45、对于n阶矩阵A，以下正确的结论是（）。(A)一定有n个不同的特征值(B)存在可逆阵B，使得为对角阵(C)它的特征值一定是正数(D)属于不同特征值的特征向量一定线性无关三、将下列向量组正交化：（1）（2）四、求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）（2）五、设3阶方阵的特征值为，而且对应的特征向量分别为，求。六、设方阵A与B相似，其中，求：（1）（2）可逆阵。七、设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，，求：（1）B的特征值及其标准型；

3、（2）。八、试求正交矩阵P，把下列实对称矩阵化为对角阵，。九、用非退化线性变换，将下列二次型化为标准型。（1）（2）十、t取何值时，下列二次型为正定二次型。（1）（2）十一、证明下列各题：（1）设A是n阶正定阵，I是n阶单位阵，求证A+I的行列式大于1。（2）设A为阶实矩阵，I为n阶单位矩阵，已知矩阵，试证：当时矩阵B为正定矩阵。